Enunciado

Atletas marcianas. No salto à distância, uma atleta se projeta a um ângulo sobre o solo e cai mantendo-se na mesma altura, tentando percorrer a maior distância horizontal. Suponha que na Terra ela permanecesse no ar pelo tempo t , atingindo uma altura máxima h e percorrendo uma distância horizontal D . Se ela saltasse exatamente da mesma forma em uma competição em Marte, onde g M A R T E é 0,379 do seu valor na Terra, ache o tempo dela no ar, a altura máxima e a distância horizontal. Expresse cada uma dessas três grandezas em termos do seu valor na Terra. Despreze a resistência do ar nos dois planetas.

Passo 1

Do exemplo 3.8 do livro texto, o tempo no ar é:

t = 2 v 0 s e n α 0 g

E a máxima altura é:

h = v 0 2 s e n 2 α 0 2 g

E o alcance horizontal é dado pela seguinte expressão:

D = v 0 2 s e n 2 α 0 g

A pessoa tem o mesmo valor de velocidade inicial v 0 e ângulo inicial α 0 tanto na Terra quanto em Marte.

Passo 2

Da primeira expressão temos:

t g = 2 v 0 s e n α 0

E esse valor é constante, então:

t T g T = t M g M

Então o tempo no ar em Marte t M é:

t M = t T g T g M

Mas g M = 0,379 g T , então o tempo no ar em Marte (em relação ao tempo na Terra t T ) é:

t M = t T g T 0,379 g T ,   = 2,64 t T

Passo 3

Agora vamos pegar a segunda expressão. A ideia aqui é a mesma. Isolar de um lado as coisas que são constantes, pra poder comparar as grandezas aqui e lá:

h g = v 0 2 s e n 2 α 0 2

E como o lado direito é constante, o produto da esquerda também será. Então temos:

h T g T = h M g M

Daí h M é:

h M = h T g T g M = h T g T 0,379 g T = 2,64 h T

Passo 4

Por fim, a terceira equação. Isolando D g do lado esquerdo:

D g = v 0 2 s e n 2 α 0

Novamente, do lado direito temos uma constante, então podemos comparar o lado esquerdo nos dois planetas. Teremos:

D T g T = D M g M

Isolando D M no lado direito teremos a relação do alcance em Marte em relação na Terra:

D M = D T g T g M = D T g T 0,379 g T = 2,64 D T

Resposta

t M = 2,64 t T

h M = 2,64 h T

D M = 2,64 D T

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