Enunciado

Calcule as componentes do vetor a’ da Figura 3.28 no sistema de coordenadas ( x ,   y ) sem utilizar a regra da transformação dada pela Equação 3.52. Utilize a definição do produto escalar e considerações geométricas.

Passo 1

Oi pessoas, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Nessa questão não vamos utilizar a Equação 3.28, e sim uma análise trigonométrica.

Note que, decompondo o vetor a nas coordenadas ( x ,   y ) teremos:

a = 4 i + 2 j

Logo, o ângulo dele com o eixo x, ou seja, θ é dado por:

θ = t g - 1   2 4 = 26,6 °

Assim o ângulo do vetor a’ em relação ao eixo ( x ,   y ) é:

ϕ = 30 ° + θ = 56,6 °

Passo 2

Agora como já sabemos o ângulo que o vetor a’ faz com o eixo x, e sabemos que

a ' =   | a |

Temos que,

a x ' = a cos ⁡ ϕ

a x ' = 4 2 + 2 2 cos ⁡ 56,6 ° = 2,46

Para descobrimos o a y ' , vamos utilizar a definição de produto vetorial, ou seja

a ∙ b = a b cos ⁡ α

Assim,

4,2 ∙ x , y = a a ' cos ⁡ 30 °

Logo, teremos

4 x + 2 y = a 2 cos ⁡ 30 = 20 cos ⁡ 30 = 10 30

Como, já sabemos que,

x = a x ' = 2,46

Teremos que,

a y ' = y = 10 3 - 4 × 2,46 2 = 3,73

Resposta

a x ' = 2,46

a y ' = 3,73

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