Enunciado

Um escafandrista está suspenso 100 m abaixo da superfície do Lago Ness por um cabo preso a um barco na superfície (Figura P15. 77). O mergulhador e seus equipamentos possuem massa total de 120 kg e ocupam um volume igual a 0,0800 m 3 . O cabo possui diâmetro igual a 2,00 cm e densidade linear µ, = 1, 1 O kg/m. O mergulhador imagina que viu algo se movendo nas profundezas escuras do lago e sacode a extremidade do cabo, produzindo ondas transversais que sobem através dele para sinalizar a seus companheiros que estão no barco. (a) Qual é a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador? Não se esqueça de incluir a força de empuxo que a água (densidade igual a 1.000 k g / m 3 ) exerce sobre ele. (b) Calcule a tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador. Em seu cálculo, inclua a força de empuxo que a água exerce sobre o cabo. (c) A velocidade das ondas transversais no cabo é dada por F / μ , Equação 15.14. Portanto, a velocidade varia ao longo do cabo, visto que a tensão não é constante. (Esta relação despreza a força de amortecimento que a água exerce sobre o cabo que se move.) Integre para achar o tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas. Ao longo da resolução, imporemos que ∑ F y = 0 no cabo. As forças são o peso do mergulhador, o peso do segmento do cabo, a tensão no cabo e a força de empuxo sobre o segmento do cabo sobre o mergulhador. Além disso, devemos lembrar que a força de flutuação sobre um objeto de volume V que está completamente submersa em água é

B = ρ H 2 O V g

Passo 2

(a) Neste item, determinaremos qual é a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador. A tensão é a diferença entre o peso do mergulhador e a força de empuxo. Assim, tem-se que:

F = m - ρ H 2 O V g = ( 120   k g - ( 1000   k g / m 3 ) ( 0,08   m 3 ) ) ( 9,81   m / s 2 )  

Portanto, a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador é

F = 392   N

Passo 3

(b) Nesta alternativa, calcularemos a tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador.

O aumento da tensão será o peso do cabo entre o mergulhador e o ponto em x , menos a força de empuxo. Este aumento de tensão é então:

T = μ x - ρ A x g = 1,10   k g / m - π 1000   k g / m 3 1,00 × 10 - 2   m 2 9,81   m / s 2 x

T = 7,70   N / m x  

Passo 4

Somando com a tensão já calculada no passo 2, tem-se que é tensão é uma função de x definida por

F x = 392   N + 7,70   N / m x  

Passo 5

(c) Por fim, neste item, calcularemos o tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície.

Escrevendo a equação de forma genérica como F x = F 0 + a x em que F 0 = 392   N e a = 7,70   N / m e observando que a velocidade das ondas transversais são funções de x da forma

v = d x d t = ( F 0 + a x ) μ

então o tempo t preciso para que a onda alcance a superfície é dado por:

t = ∫ d t = ∫ μ F 0 + a x   d x

Passo 6

Denominando o comprimento do cabo como L , obtém-se então que:

t = μ ∫ 0 L d x F 0 + a x

t = 2 μ a F 0 + a L - F 0

Substituindo os valores conhecidos na expressão acima, encontra-se finalmente o tempo necessário que o primeiro sinal leva para atingir a superfície:

t = 2 1,10 7,7 392 + 7,70 100 - 392

Portanto, o tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície é

t = 3,98   s

Resposta

  1. A tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador é F = 392   N .
  2. A tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador é
  3. F x = 392   N + 7,70   N / m x  

  4. O tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície é t = 3,98   s .

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