Enunciado

Duas fontes sonoras A e B oscilam em fase com a frequência de 20   k H z , no ar, emitindo ondas esféricas; a distância A B - = 3 d é de 10,2   m . Considere o plano perpendicular a A B - que passa pelo terço O do segmento A B - que passa pelo terço O do segmento A B - : A O - = d = 1 2 O B - . Ache as distâncias x do ponto O associadas aos dois primeiros mínimos e aos dois primeiros máximos de interferência sobre esse plano.

Você poderá utilizar a aproximação: 1 + ε ≈ 1 + 1 2 ε ε ≪ 1 ; a velocidade do som no ar é de 340   m / s . Se as ondas emitidas por A e B têm a mesma amplitude, qual é a razão da intensidade sonora dos máximos à dos mínimos?

Passo 1

A interferência das duas ondas é causada pela diferença de caminho até certo ponto no plano. Vamos fazer um desenho para ilustrar essa diferença:

Agora podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular r 1 e r 2 :

r 1 2 = d 2 + x 2

r 2 2 = 2 d 2 + x 2

Para poder usar a aproximação que foi sugerida no enunciado, vamos escrever da seguinte forma:

r 1 2 = d 1 + x 2 d 2

r 2 2 = 2 d 1 + x 2 4 d 2

Como x 2 d 2 ≪ 1 , podemos reescrever como:

r 1 2 = d 1 + 1 2 x 2 d 2

r 2 2 = 2 d 1 + 1 8 x 2 d 2

Beleza, já sabemos o caminho que cada onda faz até o ponto em x .

Passo 2

Para que ocorra um máximo de interferência, a diferença de caminho deve ser algum múltiplo inteiro de um comprimento de onda:

r 2 - r 1 = n λ

2 d 1 + 1 8 x 2 d 2 - d 1 + 1 2 x 2 d 2 = n λ

2 + 1 4 x 2 d 2 - 1 - 1 2 x 2 d 2 = n λ d

1 - 1 4 x 2 d 2 = n λ d

x 2 4 d 2 = 1 - n λ d

x 2 = 4 d 2 - 4 d n λ

x = 4 d d - n λ

E já que o enunciado deu a frequência, e não o comprimento de onda, vamos reescrever usando v = λ f :

x = 4 d d - n v f

Passo 3

Substituindo os valores numéricos (sabendo que d = 10,2 3 = 3,4   m ):

x n = 4 3,4 ( 3,4 ) - n 340 20.10 3

Essa expressão só faz sentido enquanto a raiz é positiva. Vamos mostrar que o menor valor de x n acontece quando x n = 0 :

0 = 4 3,4 ( 3,4 ) - n 340 20.10 3

n 340 20.10 3 = ( 3,4 )

n = 200

Esse é o maior valor possível para n (do contrário teremos uma raiz negativa), e corresponde a um máximo na origem.

O próximo máximo acontece para n = 199 :

x 199 = 4 3,4 ( 3,4 ) - 199 340 20.10 3 = 0,48   m

E o máximo seguinte ocorre em n = 198 :

x 198 = 4 3,4 ( 3,4 ) - 198 340 20.10 3 = 0,68   m

Agora vamos procurar os mínimos.

Passo 4

Para que ocorra um mínimo de interferência, a diferença de caminho deve satisfazer a seguinte relação:

r 2 - r 1 = n + 1 2 λ

2 d 1 + 1 8 x 2 d 2 - d 1 + 1 2 x 2 d 2 = n + 1 2 λ

2 + 1 4 x 2 d 2 - 1 - 1 2 x 2 d 2 = n + 1 2 λ

1 - 1 4 x 2 d 2 = n + 1 2 λ d

x 2 4 d 2 = 1 - n + 1 2 λ d

x = 4 d d - n + 1 2 λ

E vamos reescrever com v = λ f :

x = 4 d d - n + 1 2 v f

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos:

d - n + 1 2 v f ≥ 0

3,4 ≥ n + 1 2 340 20.10 3

3,4 ≥ n + 1 2 0,017

n + 1 2 ≤ 200

n ≤ 199,5

Então o primeiro mínimo acontece para n = 199 :

x 199 = 4 3,4 3,4 - 199 + 1 2 340 20.10 3

x 200 = 0,34   m

E o segundo para n = 198 :

x 198 = 4 3,4 3,4 - 19 8 + 1 2 340 20.10 3

x 198 = 0 , 59   m

Passo 6

Imagine que duas ondas de intensidades I 1 e I 2 se combinam para formar uma onda de intensidade I .

Podemos encontrar a intensidade resultante se soubermos a diferença de fase entre as duas:

I = I 1 + I 2 + 2 I A I B cos ⁡ δ 12

Para a intereferência construtiva, a diferença de fase deve ser de uma “volta completa”, ou seja:

δ 12 = 2 π         ⇒       cos ⁡ δ 12 = 1

I m á x = I 1 + I 2 + 2 I A I B = I 1 + I 2 2  

E para interferência destrutiva, a diferença de fase deve ser de “meia volta”, então:

δ 12 = π         ⇒         cos ⁡ δ 12 = - 1

I m í n = I 1 + I 2 - 2 I A I B = I 1 - I 2 2  

Então a razão entre as duas intensidades é:

I m á x I m í n = I 1 + I 2 2   I 1 - I 2 2 = I 1 1 + I 2 I 1 2 I 1 1 - I 2 I 1 2

I m á x I m í n = 1 + I 2 I 1 2 1 - I 2 I 1 2

E a razão entre as duas intensidades pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:

I = P 4 π r 2

Como d ≫ x n , podemos aproximar as distância percorridas por:

I 2 I 1 ≈ π d 2 π 2 d 2 ≅ 1 4

Então:

I m á x I m í n = 1 + 1 2 2 1 - 1 2 2 = 9

Então:

I m á x = 9   I m í n

Resposta

Os dois primeiros mínimos ocorrem em 0,34   m e 0,59   m . Os dois primeiros máximos ocorrem em 0,48   m e 0,68   m , além do máximo na origem. I m á x = 9   I m í n

.

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