Enunciado

A Fig. 22-39 mostra um anel de plástico de raio R = 50,0   c m . Duas pequenas contas coloridas estão sobre o anel: a conta 1, de carga + 2,0 0   μ C , que é mantida fixa na extremidade esquerda, e a conta 2, de carga + 6,00   μ C , que pode ser deslocada ao longo do anel. As duas contas produzem, juntas, um campo elétrico de módulo E no centro do anel. Determine (a) um valor positivo e (b) um valor negativo do ângulo θ para que E = 2,00 · 10 5   N / C .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dado um sistema de partículas carregadas e nosso objetivo é obter um angulo θ positivo e outro negativo para que o campo elétrico no centro do sistema seja.

E =   2,00 ×   10 5   N / C .

Para isso, vamos calcular as componentes x e y do vetor campo elétrico devido as contas 1 e 2 usando decomposição do vetor campo elétrico, que assumirá uma configuração nesse estilo aqui.

Aqui usaremos as seguintes decomposições.

E x = E c o s θ

E y = E s e n θ

E no fim vamos relacionar essa resultante conhecida com o ângulo usando o teorema de Pitágoras e um pouco de trigonometria.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiramente, iremos calcular a componente x. Para isso, devemos lembrar que como a conta 2 não está no eixo x, para calcular a componente x devemos decompor o vetor campo elétrico no eixo x, isto é, multiplicar por c o s θ . Calculando a componente x do campo elétrico:

E t o t , x = | q 1 | k R 2 - q 2 k c o s θ R 2  

Agora, para a componente y, basta a gente multiplicar o vetor campo elétrico da conta 2 por s e n θ ,   isto é, decompor no eixo y. Como a conta 1 está no eixo x, ela não tem componente y. Então:

E t o t , y = - q 2 k s e n θ R 2  

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora devemos calcular o campo elétrico total, que é somar os quadrados das componentes e tirar a raiz disso, que nada mais é do que fazer o Pitágoras do triangulo do ínicio.

E = | q 1 | k R 2 - q 2 k c o s θ R 2   2 + - q 2 k s e n θ R 2 2  

Elevando ao quadrado, e simplificando, temos:

E 2 = q 1 2 + q 2 2 - 2 q 1 q 2 c o s θ R 4

Deixando θ explicitado:

θ = cos - 1 ⁡ q 1 2 + q 2 2 - R 4 E 2 k 2 2 q 1 q 2

Substituindo pelos valores numéricos que já temos, lembrando da constante de Coulomb ( 8,99   x   10 9   N . m 2 / C 2 ) , obtemos dois valores de ângulo possível, um positivo e um negativo:

θ = cos - 1 ⁡ 2 μ 2 + 6 μ 2 - 0,5 4 2 · 10 5 2 8,99 · 10 9 2 2 2 μ 6 μ

θ = cos - 1 ⁡ 0,38

Dessa forma os dois ângulos que possuem o cosseno 0,38 são

a) O valor positivo é θ = 67,8 ° .

b) O valor negativo é θ =   - 67,8 ° .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) O valor positivo é θ = 67,8 ° .

b) O valor negativo é θ =   - 67,8 ° .

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