Enunciado

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Como as fórmulas para a lei da gravidade de Newton e para a lei de Coulomb têm a mesma dependência com o inverso do quadrado da distância, uma fórmula análoga à da lei da Gauss pode ser determinada para a gravidade. O campo gravitacional g → em uma determinada posição é a força por unidade de massa em uma massa de teste m 0 colocada naquela posição. (Então, para uma massa puntiforme na origem, o campo gravitacional g na posição r → é g → = - G m / r 2 r ^ . Determine o fluxo do campo gravitacional através de uma superfície esférica de raio R centrada na origem e verifique que o análogo gravitacional para a lei de Gauss é Φ = - 4 π G m d e n t r o

Passo 1

Fala aí, beleza? Então, a gente quer fazer um paralelo entre a lei de Gauss para a eletricidade e a Lei de Gauss para a gravitação... podemos fazer isso pois tanto a Lei de Coulomb e a Lei da Gravitação Universal possuem a mesma cara. Veja:

F → c o u l o m b = 1 4 π ε 0 q 1 q 2 r 2 r ^ F → g r a v i t a c i o n a l = - G m 1 m 2 r 2 r ^

Vamos fazer uma conjectura de como vai ficar a lei de Gauss. Notemos que temos os seguintes termos correlacionados:

1 4 π ε 0 ↔ G ⟹ ε 0 ↔ 1 4 π G q ↔ - m

Como a Lei de Gauss para a eletricidade é:

Φ = q ε 0

então, esperamos para a gravidade:

Φ = - m 1 / 4 π G = - 4 π m G

Agora vamos provar isso calculando o fluxo do vetor g → em uma esfera centrada na origem.

Passo 2

Temos que

g → = - G m r 2 r ^

Assim, queremos calcular

Φ = ∮ g → ⋅ d A →

essa integral será calculada na superfície de uma esfera que possui a massa m localizada em seu centro (veja a figura abaixo).

Notemos que g → é constante sobre cada ponto da esfera. Além disso,

g → ⋅ d A → = g   d A cos ⁡ 180 ° = - g   d A

Assim,

∮ g → ⋅ d A → = ∮ - g   d A = - g ∮ d A

Porém, essa última integral é simplesmente a área da esfera:

∮ d A = 4 π r 2

Dessa maneira, segue que:

Φ = - g 4 π r 2 = - G m r 2 4 π r 2 Φ = - 4 π G m

que é exatamente o mesmo resultado obtido anteriormente!

Resposta

O fluxo é Φ = - 4 π G m .

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