Enunciado

A figura abaixo é um gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula se movendo ao longo de uma linha reta. A posição da partícula em um tempo t = 0   é x 0 = 5,0   m . (a) Encontre x para valores variados de t contando os quadrados do gráfico, e então esboce x em função de t . (b) Esboce um gráfico da aceleração a x como função do tempo t . (c) Determine o deslocamento da partícula entre t = 3,0   s e t = 7,0   s .

Passo 1

a) Queremos saber os valores de x para diferentes t . A ideia é que ele deu a posição inicial x 0 = 5   m e a gente vai conseguir achar o deslocamento Δ x do objeto em alguns instantes t pelo gráfico.

E com isso, o nosso valor de x t para um ponto t vai ser

x t = x 0 + Δ x

Mas como podemos achar o deslocamento Δ x   a partir de um gráfico da velocidade em função do tempo? É só calcular a área sob a curva, podemos fazer isso “contando” os quadrados da malha quadriculada no gráfico do enunciado.

Então para alguns valores de t , a gente vai calcular quantos quadrados há sob o gráfico da curva de t = 0 até o t em questão.

Mas quanto “vale” cada quadrado na malha? Vamos calcular a área A de cada um deles. Para o eixo horizontal, dois quadrados têm a distância de 1 s , então um quadrado tem a distância de 0,5   s . Já no eixo vertical, um quadrado vai ter a distância de 1   m / s . A área fica:

A = 0,5   s 1 m s = 0,5   m

Ou seja, para cada quadrado sob a curva, podemo contar 0,5   m de deslocamento. Para fazer a contagem, é útil desenhar o eixo horizontal na posição “correta”, em v x = 0 :

E a gente vai considerar os quadrados abaixo do eixo x (velocidade negativa) como “negativos”, então eles vão entrar com sinal de menos na contagem de quadradinhos.

Como nosso objetivo é plotar o deslocamento em função do tempo, vamos fazer essa contagem para vários intervalos de tempo, terminando entre t = 0 e t = 10 .

Passo 2

Agora vamos usar os dados que coletamos para esboçar um gráfico de x ( t ) . A ideia é basicamente plotar esses pontos em um plano e depois traçar uma curva que passe por eles:

Passo 3

E agora vamos fazer um esboço do gráfico da aceleração. Em um gráfico da velocidade em função do tempo, a aceleração é a inclinação da reta tangente em cada ponto.

Para cada ponto em que quisermos estimar a aceleração instantânea, vamos ter que considerar um pequeno intervalo do gráfico, em torno desse ponto.

Vamos começar com um pequeno trecho do gráfico, em que vamos estimar a ( 0 ) , a ( 1,5 ) e a ( 3 ) .

Os segmentos vermelhos tangentes foram prolongados ou encurtados até que cruzassem algum ponto que facilitasse o cálculo da aceleração:

a 0 = Δ v Δ t = 2   m / s 0,5   s ≅ 6,0   m / s 2

a 1,5 = Δ v Δ t = 8,0 - 4,0 3,5 - 0,5 = 1,3   m / s 2

a 3 = Δ v Δ t = 0 Δ t = 0

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para outro trecho do gráfico, para estimar os a ( 4,5 ) , a ( 6,0 ) e a ( 7,5 ) :

a 4,5 = Δ v Δ t = 2,0 - 7,0 2,25 = - 2,2   m / s 2

a 6,0 = - 5 - 2 1,75 = - 4,0   m / s 2

a 7,5 ≅ 0   m / s 2

Essa última não foi sequer calculada, pois é visível que a inclinação da reta é próxima de zero, pois a reta é quase horizontal.

E então podemos usar esses pontos (e um pouco de bom senso, já que temos o gráfico completo da velocidade), para fazer o gráfico de a ( t ) .

É só plotar os pontos no plano e traçar uma curva aproximada.

Passo 5

(c) Fica faltando apenas determinar o deslocamento da partícula no intervalo 3,0   s ≤ t ≤ 7,0   s , para isso podemos aproveitar o gráfico de x ( t ) que fizemos lá em cima:

Δ x = x 7 - x ( 3 )

x 7 ≅ 2 7   m

x 3 ≅ 1 7   m

Então:

Δ x = 29 - 19 = 10   m

Resposta

(a)

(b)

(c) Δ x ≅ 10   m .

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