Enunciado

No modelo clássico de J.J. Thomson para átomo de hidrogênio, a carga + e do núcleo era imaginada como sendo uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10 - 8   c m (raio atômico) e o elétron era tratado como uma partícula pontiforme - e movendo-se no interior desta distribuição.

  1. Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância r < a do centro da esfera;
  2. Mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples;
  3. Calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência típica de luz visível, bem como com o resultado do problema 3 do capítulo 2

Passo 1

Se liga! Temos aqui um problema com simetria esferérica!

Pronto para usar a lei de Gauss?!

Vamos começar com o desenho do problema, blz?

Ele pediu para calcular o campo na região r < a .

A lei de Gauus noss diz que

ϕ = E A = q i n t ϵ 0

Passo 2

Mas quem é a área?Vamos considerar que o elétron está representado no ponto amarelo. Sendo assim, a área da esfera de raio r é

A r = 4 π r 2     .

Passo 3

Agora vem a outra questão, quem é q i n t ?

Isso mesmo, é a carga localizada dentro da esfera de raio   r .

Como foi dito no enunciado, a carga total da esfera maior é + e . Agora precisamos achar a relação de q i n t com + e .

Temos que a densidade de carga volumétrica é

ρ = e 4 3   π a 3 = q i n t 4 3 π r 3 ⇒ q i n t = 4 3   π ρ r 3

Substituindo A e q i n t na expressão do fluxo para calcular o campo, teremos

E = 4 3   π ρ r 3 ϵ 0 4 π r 2 = ρ r 3 ϵ 0

Passo 4

Para provar que o elétron poderia realizar um MHS, precisamos achar a equação do movimento.

Sabemos que a força elétrica é

F =   q E

Substituindo a a carga do elétron e o campo, temos

F =   - e ρ r 3 ϵ 0     .

Aplicando a lei de newton podemos escrever que

F = m a = m e d 2 r d t 2 =   - e ρ r 3 ϵ 0  

Agora podemos escrever a equação na forma do MHS

d 2 r d t 2 + e m e ρ r 3 ϵ 0 = 0

Passo 5

Sabemos que a equação do MHS geralmente é escrita da seguinte forma

d 2 r d t 2 + ω 2 r = 0

Comparando com a expressão do MHS obtida, temos que

ω =   ρ e 3 ϵ 0

Substituindo ρ por valores conhecidos temos

ω =   e ρ e 4 π ϵ 0 a 3 m e

Para comparar com a frequência da luz, precisamos relacionar a frequência com ω

f = ω 2 π ≈ 8 × 10 16 H z

Resposta

a )         E = ρ r 3 ϵ 0

c )             ω =   e ρ e 4 π ϵ 0 a 3 m e

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