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Uma onda senoidal de frequência angular 1200   r a d / s e amplitude 3,00   m m é produzida em uma corda de massa específica linear 2,00   g / m e 1200   N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia é transportada pela onda para a extremidade oposta da corda? (b) Se, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em uma corda vizinha, de mesmas características, qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas para as extremidades opostas das duas cordas? Se, em vez disso, as duas ondas são produzidas ao mesmo tempo na mesma corda, qual é a taxa média total com a qual transportam energia quando a diferença de fase entre as duas ondas é (c) 0 , (d) 0,4   π   r a d e (e) π   r a d ?

Passo 1

Vamos começar listando as informações que o enunciado já deu:

y m = 3,00   .   10 - 3   m

ω = 1200   r a d / s

μ = 2,00   .   10 - 3   k g / m

T = 1200   N

Ok, isso vai ser bem útil mais pra frente.

Passo 2

(a) A taxa média com que a energia é “transportada” pela onda é simplesmente a potência média:

P m é d = 1 2 μ v ω 2 y m 2

Onde a velocidade é:

v = T μ = 1200 2,00.10 - 3 = 774   m / s

Então:

P m é d = 1 2 2,00.10 - 3 774 1200 2 3,00.10 - 3 2 = 10   W

Passo 3

(b) Como a outra onda está em uma “corda vizinha”, ela não afeta a primeira em nada.

E como as duas ondas são iguais, a taxa total de energia transportada (potência total), vai ser simplesmente o dobro do valor que acabamos de achar:

P t o t a l = 2 P m é d = 2 ( 10 )

P t o t a l = 20   W

Passo 4

(c) Agora queremos esse valor quando as duas ondas estão na mesma corda.

A gente sabe que quando as ondas estão no mesmo meio, pelo princípio da superposição, a onda resultante vai ser a soma das duas originais. Vamos ver como fica a fórmula da potência nesse caso:

P m é d = 1 2 μ v ω 2 y m 2

A massa específica é uma constante, e a velocidade só depende da tensão e da massa específica da corda, então ela não muda.

A frequência angular também não muda quando duas ondas sofrem interferências. Mas a amplitude ganha uma fórmula conhecida:

Y m = 2 y m cos ⁡ Δ φ 2

Onde Δ φ é a diferença de fase entre as ondas. E a fórmula da potência vai ser:

P m é d = 1 2 μ v ω 2 2 y m cos ⁡ Δ φ 2 2  

Agora é só substituir as diferenças de fase que a questão deu.

Na letra (c), a diferença é 0, como cos ⁡ 0 = 1

P ' m é d = 2 μ v ω 2 y m 2

Que é quatro vezes a potência original, então:

P m é d ' = 4 10 = 40   W

Passo 5

(d) Agora a diferença de fase é 0,4 π   r a d

P ' ' m é d = 1 2 μ v ω 2 2 y m cos ⁡ 0,4 π 2 2  

Resolvendo isso na calculadora:

P ' ' m é d = 2,61 2 μ v ω 2 y m 2

E como a potência original era:

1 2 μ v ω 2 y m 2 = 10

Essa vai ser:

P ' ' m é d = 2,61 10 = 26,1   W ≅ 26   W

Passo 6

(e) Como cos ⁡ π 2 = 0

P ' ' ' m é d = 1 2 μ v ω 2 2 y m cos ⁡ π 2 2  

P m é d ' ' ' = 0

Isso quer dizer que a interferência é totalmente destrutiva.

Resposta

(a) 10   W

(b) 20   W

(c) 40   W

(d) 26   W

(e) 0   W

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