Enunciado

Um pássaro voa em um plano x y com um vetor velocidade dado por v → = α - β t 2 i → + γ t   j → , sendo α = 2,4   m / s , β = 1,6   m / s 3 e γ = 4,0   m / s 2 . O sentido positivo do eixo vertical O y é de baixo para cima. Em t = 0 , o pássaro está na origem.

a) Determine o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo.

b) Qual é a altura do pássaro (coordenada y ) quando ele voa sobre x = 0 pela primeira vez depois de t = 0 ?

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos um pássaro que voa em um plano x y com um vetor velocidade dado por v → = α - β t 2 i → + γ t   j → , sendo α = 2,4   m / s , β = 1,6   m / s 3 e γ = 4,0   m / s 2 . O sentido positivo do eixo vertical O y é de baixo para cima e em t = 0 , o pássaro está na origem.

A partir daí temos que determinar o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo e a altura do pássaro (coordenada y ) quando ele voa sobre x = 0 pela primeira vez depois de t = 0 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Vamos por partes...

Passo 2

O vetor aceleração vai ser encontrado derivando o vetor velocidade:

a → = d v → d t = - 2 β t i → + γ j →

Substituindo os valores das constantes:

a → = - 3,2 t   i → + 4 j →

O vetor posição vai ser encontrado INTEGRANDO o vetor velocidade:

r → = α t - β t 3 3 i → + γ t 2 2 j →

E substituindo os valores das constantes:

r → = 2,4 t - 0,53 t 3 i → + 2 t 2 j →

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O primeiro instante é dado quando a coordenada x é igual a zero. Pegamos a expressão para a coordenada x do item anterior e igualando a zero:

α t - β t 3 3 = 0

t 2 = 3 α β

E nesse instante a coordenada y vai ser (só substituir na expressão pra y ):

y = γ t 2 2 = γ 2 . 3 α β = 3.2,4.4 2.1,6

y = 9 m

Legal, não é? O que achou? Responde Aí!

Resposta

a )   a → = - 3,2 t   i → + 4 j →   ;   r → = 2,4 t - 0,53 t 3 i → + 2 t 2 j →

b )   9 m

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