Enunciado

Uma pequena superfície gaussiana na forma de um cubo tem faces paralelas aos planos x y , x z e y z (Figura 22-47) e está em uma região na qual o campo elétrico é paralelo ao eixo x . (a) Usando a aproximação diferencial, mostre que o fluxo elétrico resultante do campo elétrico saindo da superfície gaussiana é dado por ϕ ≈ ∂ E x ∂ x Δ V , onde Δ V é o volume no interior da superfície gaussiana. (b) Usando a lei de Gauss e os resultados da parte (a) Mostre que ∂ E x ∂ x = ρ ε 0 , onde ρ é a densidade volumétrica de carga dentro do cubo. (Esta equação é a versão unidimensional da forma puntiforme da lei de Gauss).

Passo 1

Esse problema é bastante abstrato, não? Porém, vamos tentar ataca-lo com calma... vai dar certo, acredite!

Passo 2

  1. Considere que o campo elétrico em uma das faces seja E x (face esquerda) e a o campo elétrico na outra face seja dado (aproximadamente) por E x + ∂ E x ∂ x d x , onde d x é o comprimento da caixa (veja a figura)
  2. Agora pode vir a pergunta... mas por qual motivo eu posso escrever o campo elétrico na extremidade direita desse jeito? O motivo é que estamos tomando a caixa muito pequena, de modo que seu lado é um diferencial d x . Assim, lembre-se que a taxa de variação de uma função em relação a determinada grandeza é justamente a derivada. Ou seja, se eu quero saber quanto uma função f x varia quando se varia x , eu faço:

    d f = d f d x d x

    Como a caixa é muito pequena, posso aproxima d f para Δ f (a variação finita da função). Assim, temos

    Δ f = d f d x d x ⟹ f f i n a l - f i n i c a l = d f d x d x f f i n a l = d f d x d x + f i n i c i a l

    Há uma pequenina diferença para o caso do campo elétrico: ele não é uma função exclusiva de x . Por isso escrevemos o em vez do d comum. Entendeu?

    Voltando ao problema! Assim, o fluxo será dado por:

    Φ = Φ d i r e i t a - Φ e s q u e r d a Φ ≈ E x + ∂ E x ∂ x d x A - E x A Φ ≈ ∂ E x ∂ x Δ V

    onde A é a área da face.

    Passo 3

  3. Aplicando a lei de Gauss, temos que

Φ = q ε 0 ⟹ ∂ E x ∂ x Δ V = q ε 0

Porém, sabemos que ρ = q / Δ V . Assim,

∂ E x ∂ x = ρ ε 0

Essa equação é conhecida como equação de Poisson. No caso mais geral, temos que

∇ ⋅ E = ρ ε 0

onde é um operador conhecido como gradiente e é dado por:

∇ ≔ ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^

Assim, a equação completa de Poisson é:

∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ z + ∂ E z ∂ z = ρ ε 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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