Enunciado

Três elétrons formam um triângulo eqüilátero com 1.0 nm de lado. Um próton encontra-se no centro do triângulo. Qual é a energia potencial desse grupo de cargas?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Temos um triângulo equilátero (3 lados iguais) e queremos saber o valor da energia potencial do conjunto de cargas. Os dados que temos em mãos são os lados, um próton e três elétrons:

- e =   + e = 1.6 × 1 0 - 19 C

1.0 n m = 1.0 × 1 0 - 9 m

U   =   q V

V = 1 4   π   ϵ 0   q r = K q r

K = 9 × 1 0 9 N m 2 / C 2

O seguimento r 1,2 liga a carga 1 (carga no topo) até a carga 2 (carga do lado esquerdo), o seguimento   r 1,3 liga a carga 1 até a carga 3 (carga do lado direito),

o seguimento r 2,3 como já devem ter percebido, conecta a carga 2 da esquerda até a carga 3 na direita. Como se trata de um triângulo equilátero, já podemos fazer a seguinte igualdade: r 1,2 = r 1,3 = r 2,3 = 1.0 × 1 0 - 9 m .

Devemos fazer uma pequena relação com o ângulo θ para que possamos encontrar a distância até o próton no centro, vamos chamar de “d”.

Devemos levar em conta os ângulos internos do triângulo. Logo θ = 30 ° .

Passo 2

Sabendo disso agora podemos encontrar “d”: c o s ( 30 ° ) = ( r 2,3 ) / 2 d = r 2,3 2   d

d = r 2,3 2   c o s ( 30 ° ) = r 2,3 2   *   3 2 = r 2,3 3 = 1.0 × 1 0 - 9 m 3 = 0.57 × 1 0 - 9 m . Como “d” tem a mesma medida para o próton no centro. Então, todas as outras medidas dos elétrons até o próton no centro, são iguais! A partir disso, basta substituirmos os valores na equação para a energia potencial U = q V .

Primeiramente temos os potenciais para os elétrons em cada vértice:

U 1,2 = U 1,3 = U 2,3 = K q 2 r = ( 9.0 × 1 0 9 ) ( - 1.6 × 1 0 - 19 ) 2 ( 1.0 × 1 0 - 9 ) = 2.3 × 1 0 - 19 J

Agora com relação a carga no centro. As medidas dos elétrons com respeito ao próton no centro (vamos chamar de carga 4), assim como o potencial delas são iguais, assim:

U 1,4 = U 2.4 = U 3,4   =   K q 2 d = ( 9.0 × 1 0 9 ) ( - 1.6 × 1 0 - 19 ) ( 1.6 × 1 0 - 19 ) 0.57 × 1 0 - 9 = - 3.9 × 1 0 - 19 J

Agora fazemos a soma de todas as contribuições

U e l é t r o n = U 1,2 + U 1,3 + U 2,3 + U 1,4 + U 2.4 + U 3,4

U e l é t r o n = 3 ( 2.3 × 1 0 - 19 ) + 3 ( - 3.9 × 1 0 - 19 ) = 5 × 1 0 - 19 J

Resposta

U 1,2 = U 1,3 = U 2,3 = K q 2 r = ( 9.0 × 1 0 9 ) ( - 1.6 × 1 0 - 19 ) 2 ( 1.0 × 1 0 - 9 ) = 2.3 × 1 0 - 19 J

U 1,4 = U 2.4 = U 3,4   =   K q 2 d = ( 9.0 × 1 0 9 ) ( - 1.6 × 1 0 - 19 ) ( 1.6 × 1 0 - 19 ) 0.57 × 1 0 - 9 = - 3.9 × 1 0 - 19 J

U e l é t r o n = U 1,2 + U 1,3 + U 2,3 + U 1,4 + U 2.4 + U 3,4

U e l é t r o n = 3 ( 2.3 × 1 0 - 19 ) + 3 ( - 3.9 × 1 0 - 19 ) = 5 × 1 0 - 19 J

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