Campo Magnético Gerado por um Fio

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Teoria

Fala aí! Bora aprender a calcular o Campo magnético Gerado por um Fio?

Então vamos com tudo! Vamos considerar um ponto , a uma distância qualquer de um fio de comprimento que transporta uma corrente , onde o ponto tá sobre essa reta que passa perpendicularmente no meio do fio (eixo ).

-Hãm??! 😵‍💫

Se liga no esquema:

Campo Magnético Gerado por um fio.
Campo Magnético Gerado por um fio.

O movimento da corrente gera um campo magnético em , mas como calculá-lo?

O módulo do campo magnético gerado por um fio é dado por:

Onde é a permeabilidade magnética no vácuo , é a corrente elétrica e é distância da carga até o ponto!

Talvez você até já esteja familiarizado com essa fórmula, lá do ensino médio! Perfeito, tranquilinho, sucesso! Não é?!

-Não!

Não é exatamente essa equação que vamos usar, infelizmente! 🥲

Vou te explicar o porquê, se liga nessa imagem:

Campo Gerado por um fio: Esquema
Campo Gerado por um fio: Esquema

Precisamos conseguir calcular o campo magnético considerando qualquer lugar do fio! Nesse caso precisamos incluir o cálculo dessa distância , logo ficamos com a seguinte fórmula para o campo magnético:

Essa é a Lei de Biot-Savart para correntes!

Mas, putz, integral de vetor? 🥲

Muita calma nessa hora! Existe um jeito da gente integrar só o módulo se soubermos a direção do campo!

Na imagem acima já temos esse dado, mas você também pode descobrir essa informação usando a regra da mão direita! Para isso coloca a sua mão direita com o polegar apontando pro sentido da corrente e com a mão envolvendo o fio.

Regra da Mão Direita
Regra da Mão Direita

  • Clique aqui para aprender mais sobre: Regra da Mão Direita

Podemos ver que no lado do ponto a mão está entrando, indicando que o campo magnético entra na página. Na outra vista podemos ver o movimento dele em torno do fio formando uma superfície onde o módulo do campo tem a mesma intensidade. O vetor campo é sempre tangente a essa superfície, como na figura abaixo:

Campo Magnético em torno do fio.
Campo Magnético em torno do fio.

Usando o teorema de Pitágoras e fazendo algumas manipulações, ficamos com:

Esse representa que o campo magnético esta sobre o eixo !

Campo Magnético Gerado por um Fio infinito

Como assim Fio Infinito?! 😱


Calma! Dizemos que um fio é infinito quando o seu comprimento é muito maior que a distância que o ponto está do fio, se liga na imagem:

Fio Infinito.
Fio Infinito.

Comparado ao comprimento , a distância se torna muito pequena e na soma dos termos ao quadrado acaba sendo irrelevante. Então na equação do fio finito esse termo aqui sofre a seguinte aproximação:

Então a fórmula do campo magnético para o fio infinito fica:

Agora confere esse vídeo sobre campo magnético gerado por um fio que eu separei especialmente pra você:

Bora praticar com exercícios?!

Campo Magnético Gerado por um Fio infinito

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Na figura abaixo, dois fios retilíneos longos são perpendiculares ao plano do papel e estão separados por uma distância d 1 = 0,75   c m .

O fio 1 conduz uma corrente de 6,5   A para dentro do papel. Determine a o módulo e b o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P , situado a uma distância d 2 = 1,50   c m do fio 2.

Passo 1

O campo magnético gerado por um fio longo é dado por:

B → = μ 0 i 2 π R   ϕ ^

Assim, para que o campo magnético seja nulo em P , é necessário que:

B 1 = B 2

μ 0 i 1 2 π d 1 + d 2 = μ 0 i 2 2 π d 2

Simplificando essa expressão, a corrente no fio 2 será:

i 2 = i 1 d 2 d 1 + d 2

Onde:

i 1 = 6,5   A

d 1 = 0,75   c m = 0,75 × 10 - 2 m

d 2 = 1,50   c m = 1,5 × 10 - 2 m

Finalmente:

i 2 = 6,5 1,5 × 10 - 2 0,75 × 10 - 2 + 1,5 × 10 - 2

i 2 = 4,3   A

Passo 2

A corrente no Fio 1 gera, em P , um campo magnético para a esquerda. Para que os campos se anulem, o Fio 2 deve gerar um campo magnético para a direita em P .

Através da regra da mão direita, isso só vai ser possível se o sentido da corrente for para fora do papel, conforme a figura abaixo:

Resposta

a

i 2 = 4,3   A

b

O sentido da corrente do Fio 2 está para fora do papel.

Exercício Resolvido #2

Dois fios retilíneos muito longos, paralelos, a uma distância de 1   m entre si, transportam, cada um, uma corrente elétrica estacionária de 1   A . O módulo da força magnética por unidade de comprimento que cada um exerce sobre o outro é:

a 4 π μ 0   A 2 / m .

b 2 π μ 0   A 2 / m .

c π μ 0   A 2 / m .

d μ 0 / π   A 2 / m  

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

f μ 0 / ( 4 π )   A 2 / m .

Passo 1

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F 1 → 2 = I 2 L B

Onde o campo magnético gerado pelo fio 1 é dado por:

B r = μ 0 I 1 2 π r

Substituindo na expressão da força magnética, teremos:

F 1 → 2 = I 2 L . μ 0 I 1 2 π r

Assim, a força por unidade de comprimento será:

F 1 → 2 L = I 2 . μ 0 I 1 2 π r

Sabendo que r = 1   m e I 1 = I 2 = 1   A , teremos:

F 1 → 2 L = μ 0 2 π

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

Exercício Resolvido #3

A figura abaixo mostra, em seção reta, quatro fios finos paralelos, retilíneos e muito compridos, que conduzem corrente iguais nos sentidos indicados.

Inicialmente, os quatro fios estão a uma distância d = 15,0   c m da origem do sistema de coordenadas onde criam um campo magnético total B → .

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Passo 1

O primeiro passo é ver onde está o campo magnético original. Como as correntes são iguais e as distâncias iniciais também são, os módulos dos campos magnéticos de cada fio também serão iguais.

Logo, usando a regra da mão direita, podemos determinar para onde estão esses campos:

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = 2 B i ^

B → = 2 μ 0 i 2 π d i ^

B → = μ 0 i π d i ^

Passo 2

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

Antes de começar, vamos defini B x como sendo a componente em x do campo magnético total e B y como sendo a componente em y do campo magnético total. Onde:

B x = B 2 + B 4

B y = B 1 - B 3

Nesse caso, como não vamos mexer com os fio 2 e 4, B x será dado por:

B x = μ 0 i 2 π d + μ 0 i 2 π d

B x = μ 0 i π d

Além disso, como não vamos mexer com o fio 3:

B 3 = μ 0 i 2 π d

Continuando...

Agora, para que haja uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário, é necessário que:

B y B x = tan ⁡ 30 °

Vamos reorganizando esse cara até acharmos o que estamos procurando:

B y = B x tan ⁡ 30 °

B 1 ' - B 3 = B x tan ⁡ 30 °

Substituindo as expressões dos campos magnéticos, teremos:

μ 0 i 2 π d ' - μ 0 i 2 π d = μ 0 i π d 3 3

Simplificando os termos:

1 d ' = 1 d + 2 3 3 d

1 d ' = 2 3 + 3 3 d

d ' = 3 d 2 3 + 3

Onde d = 15,0   c m , finalmente:

d ' = 7,0   c m

SE LIGA!!!!!!!

Aqui tem uma pegadinha... o problema pergunta para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado. Assim, como ele deve ficar a 7,0   c m da origem, ele deve ser deslocado para a posição:

x = - 7,0   c m

Passo 3

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Para que volte à orientação inicial, o campo magnético B 3 → deve cancelar o campo magnético B 1 → . Isso só vai acontecer se os dois estiverem à mesma distância da origem.

Assim, o fio 3 deve ser deslocado para a posição:

x = 7,0   c m

Resposta

a

x = - 7,0   c m

b

x = 7,0   c m

Exercício Resolvido #4

Na figura abaixo, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 8,50   c m .

Todos os fios conduzem correntes de 15,0   A para fora do papel. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1?

Passo 1

Ok, vamos começar definindo os as forças que agem sobre o fio 1.

Como todas as correntes são iguais, os módulos de cada força serão:

F 2 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

F 3 → 1 = μ 0 L i 2 2 π 2 a

F 4 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

Passo 2

Beleza, agora que já definimos os módulos, precisamos olhar para os vetores. Como todos os fios possuem correntes paralelas, todas as forças serão atrativas, logo:

Assim, as forças serão dadas por:

F 2 → 1 → = F 2 → 1 i ^

F 2 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π a i ^

F 3 → 1 → = F 3 → 1 cos ⁡ 45 ° i ^ - sen ⁡ 45 ° j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π 2 a 2 2 i ^ - 2 2 j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^

F 4 → 1 → = F 4 → 1 - j ^

F 4 → 1 → = - μ 0 L i 2 2 π a j ^

Passo 3

Assim, a força resultante sobre o fio 1 será:

F R → = F 2 → 1 → + F 3 → 1 → + F 4 → 1 →

F R → = μ 0 L i 2 2 π a i ^ + μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^ - μ 0 L i 2 2 π a j ^

F R → = 3 μ 0 L i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 L i 2 4 π a j ^

Por fim, a força resultante por unidade de comprimento será:

F R → L = 3 μ 0 i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 i 2 4 π a j ^

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i = 15,0   A

a = 8,50 × 10 - 2 m

Finalmente:

F R → L = 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 i ^ - 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 j ^

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Resposta

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Exercício Resolvido #5

Na figura abaixo cinco fios paralelos longos no plano x y estão separados por uma distância d = 50,0   c m .

As correntes para dentro do papel são i 1 = 2,0   A , i 3 = 0,25   A , i 4 = 4,0   A e i 5 = 2,0   A , a corrente para fora do papel é i 2 = 4,0   A . Qual é o módulo da força por unidade de comprimento que age sobre o fio 3?

Passo 1

Beleza, o primeiro passo aqui é calcular o módulo de cada uma das forças em 3:

F 1 → 3 = μ 0 L i 1 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 1 i 3 4 π d

F 2 → 3 = μ 0 L i 2 i 3 2 π d

F 4 → 3 = μ 0 L i 4 i 3 2 π d

F 5 → 3 = μ 0 L i 5 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 5 i 3 4 π d

Passo 2

Beleza, o primeiro passo aqui é colocar graficamente onde estão cada uma dessas correntes para nos orientarmos... de acordo com o enunciado, o esquema é esse aqui:

Lembrando que, quando as correntes são paralelas os fios se atraem e quando são antiparalelas, os fios se repelem.

Dessa forma:

F 1 → 3 → = F 1 → 3 - j ^ → F 1 → 3 → = μ 0 L i 1 i 3 4 π d - j ^

F 2 → 3 → = F 2 → 3 j ^ → F 2 → 3 → = μ 0 L i 2 i 3 2 π d j ^

F 4 → 3 → = F 4 → 3 j ^ → F 4 → 3 → = μ 0 L i 4 i 3 2 π d j ^

F 5 → 3 → = F 5 → 3 j ^ → F 5 → 3 → = μ 0 L i 5 i 3 4 π d j ^

Passo 3

A força resultante sobre o fio 3 será:

F R → = F 1 → 3 → + F 2 → 3 → + F 4 → 3 → + F 5 → 3 →

F R → = - μ 0 L i 1 i 3 4 π d j ^ + μ 0 L i 2 i 3 2 π d j ^ + μ 0 L i 4 i 3 2 π d j ^ + μ 0 L i 5 i 3 4 π d j ^

A força resultante por unidade de comprimento será:

F R → L = - μ 0 i 1 i 3 4 π d j ^ + μ 0 i 2 i 3 2 π d j ^ + μ 0 i 4 i 3 2 π d j ^ + μ 0 i 5 i 3 4 π d j ^

Vou só dar uma arrumada pra facilitar os cálculos, de boa?

F R → L = μ 0 i 3 2 π d - i 1 2 + i 2 + i 4 + i 5 2 j ^

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i 1 = 2,0   A

i 2 = 4,0   A

i 3 = 0,25   A

i 4 = 4,0   A

i 5 = 2,0   A

d = 0,5   m

Jogando esses valores na expressão acima, teremos:

F R → L = 4 π × 10 - 7 × 0,25 2 π × 0,5 - 2 2 + 4 + 4 + 2 2 j ^

F R → L = 8 × 10 - 7 j ^ N / m

Resposta

F R → L = 8 × 10 - 7 j ^ N / m

Exercício Resolvido #6

Três fios paralelos e muito longos conduzem correntes de módulo igual a I , com os sentidos indicados na Figura abaixo. Sabendo que a distância entre dois fios adjacentes é igual a d , calcule o módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante por unidade de comprimento sobre cada fio.

Passo 1

Para gente calcular a força resultante em cada um dos fios acima, precisamos saber qual é o campo magnético resultante sobre cada um deles devido a todos os outros.

No primeiro fio de cima, o módulo vetor campo magnético resultante será

B R , 1 = μ 0 I 2 π 1 d - 1 2 d = μ 0 I 4 π d   .  

Esse campo magnético está entrando no plano da página, de modo que o vetor é

B → R , 1 = μ 0 I 4 π d   ( - k ^ )   .

A força que age nesse fio é

F → = I L μ 0 I 4 π d     i ^ × ( - k ^ ) = μ 0 I 2 L 4 π d   + j ^ .

Portanto, a força por unidade de comprimento é dada por

F → L = μ 0 I 2 4 π d   + j ^ .

Passo 2

Já no fio do meio, o campo resultante será nulo, pois as correntes I dos fios de cima e de baixo produzem um campo que tem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários e, por isso, se cancelam.

Portanto, a força por unidade de comprimento que age no fio do meio é NULA.

Passo 3

Por último, o módulo vetor campo magnético resultante no último fio de baixo será

B R , 1 = μ 0 I 2 π 1 d - 1 2 d = μ 0 I 4 π d   .  

Esse campo magnético está saindo do plano da página, de modo que o vetor é

B → R , 1 = μ 0 I 4 π d   k ^   .

A força que age nesse fio é

F → = I L μ 0 I 4 π d     i ^ × k ^ = μ 0 I 2 L 4 π d   - j ^ .

Assim, temos que a força por unidade de comprimento no último fio de baixo é dada por

F → L = μ 0 I 2 4 π d   - j ^ .

Resposta

Primeiro fio de cima: F → L = μ 0 I 2 4 π d   + j ^   ;

Fio do meio:   F → L = 0   ;

Fio de baixo: F → L = μ 0 I 2 4 π d   - j ^   .  

Exercício Resolvido #7

A Figura abaixo representa o plano x y que corta perpendicularmente dois fios longos (infinitos) e paralelos que conduzem uma corrente I , de mesmo módulo, porém de sentidos contrários.

  1. Copie o diagrama e desenhe os vetores para mostrar que o campo magnético B → de cada fio e campo resultante   B → R no ponto P .
  2. Deduza uma expressão para o módulo do campo   B → em qualquer ponto do eixo O x em termos da coordenada x do ponto. Qual é a direção e o sentido de   B → ?
  3. Para qual valor de x o módulo de   B → atinge seu valor máximo?
  4. Qual é o módulo de   B → quando x ≫ a ?

Passo 1

a) Na Figura abaixo, o fio de cima chamamos de 1 e o debaixo de 2 . O campo produzido por eles,   B → 1 e   B → 2 , respectivamente, são perpendiculares às linhas tracejadas de comprimento r = x 2 + a 2 .

O campo magnético resultante   B → R no ponto P é dado por

B → R = 2   B →   s e n θ   ,

sendo que   B → tem módulo

B = μ 0 I 2 π r = μ 0 I 2 π x 2 + a 2       .

Passo 2

b) Da Figura acima, vemos que o vetor campo magnético resultante estará ao longo do eixo + O x e terá módulo dado por

B R = 2 μ 0 I 2 π r s e n θ = μ 0 I π a a 2 + x 2 2 ⇒ B → R = μ 0 I a π ( a 2 + x 2 )   + i ^ ,

em que utilizamos, a partir da Figura acima, que

s e n θ = a r = a x 2 + a 2   .

Passo 3

c) Se derivamos com relação a x o módulo do vetor campo magnético resultante, chegamos a

d B → R d x = μ 0 I a π - 2 x a 2 + x 2 2 = 0 ⇒ x = 0   .

Portanto, o campo magnético resultante é máximo em x = 0 .

Passo 4

d) Se x ≫ a , então o campo magnético resultante é

B → R ≈ μ 0 I a π x 2   + i ^ .

Resposta

  1. Desenho da Figura ;
  2. B → R = μ 0 I a π ( a 2 + x 2 )   + i ^ ;
  3. B → R é máximo em x = 0   ;
  4. B → R ≈ μ 0 I a π x 2   + i ^ .

Exercício Resolvido #8

Dois fios longos e paralelos estão suspensos por meio de cordas de l = 4,0   c m de comprimento, presas a um eixo comum, como mostra a Figura abaixo. Os fios possuem massa por unidade de comprimento igual a λ = 0,0125   k g / m e conduzem correntes de mesmo módulo, porém de sentidos contrários. Qual é a corrente em cada fio, sabendo que as cordas de sustentação formam um ângulo de θ = 6   ˚ com a vertical?

Passo 1

Para matar esse exercício, imagina que você está vendo a Figura acima de perfil, como na Figura abaixo, de maneira que a corrente no fio da esquerda está entrando no plano da página e a da direita saindo da página.

A corrente da esquerda produz um campo magnético  B → no fio da direita que aponta para baixo. Isso você pode verificar usando a regra da mão direita para corrente. Um campo de mesma intensidade é produzido pela corrente da direita no fio da esquerda e aponta também para baixo. Esses campos têm uma intensidade que é dada por

B = μ 0 I 2 π r   .

Como   B → é perpendicular às correntes em ambos os fios, então a força magnética   F → M que age nos dois fios tem mesma direção, mesma intensidade, porém sentidos diferentes, como está mostrado na Figura. Por isso, os fios nessa situação de afastam um do outro. A intensidade dessa força é

F M = I L B = μ 0 I 2 L 2 π r   ,

em que L é o comprimento dos fios percorridos pelas correntes I e r é a distância entre os dois fios.

Passo 2

Como os fios estão em equilíbrio com as cordas de comprimento l fazendo um ângulo θ com a vertical, vamos escrever as componentes das forças em cada um dos eixos. Fazendo isso, vamos encontrar

x :       T s e n θ = F M   ;

y :     T c o s   θ = P     .

Se a gente divide a primeira equação acima pela segunda, obtemos o seguinte

F M = P tan ⁡ θ = m g tan ⁡ ( θ ) .

Colocando aqui dentro a expressão que encontramos lá no Passo 1, temos

μ 0 I 2 L 2 π r = m g tan ⁡ ( θ ) ⇒ I = 2 π r   m g tan ⁡ θ μ 0 L   .

Bom, nessa fórmula, ainda não conhecemos o valor de r nem de L (não confunda esse comprimento com l , que o comprimento das cordas que estão segurando os fios!!), que são quantidades não fornecidas pelo enunciado. Vamos continuar...

Passo 3

Para completar, vamos deixar a expressão para a corrente I acima em termos apenas das quantidades fornecidas pelo enunciado.

Para isso, o exercício diz que a massa m dos fios percorridos pela corrente I pode ser escrita como

m = λ L   ,

em que λ é conhecido, mas não sabemos o valor de L , mas isso não vai ser um problema, como você vai ver logo logo! :-).

Continuando, da Figura acima, a gente tem também que

s e n θ = r 2 l   ⇒ r = 2 l s e n θ ,  

e aqui l , comprimento das cordas, é conhecido. Colocando isso tudo junto lá na expressão para I , chegamos no seguinte

I = λ l g s e n θ tan ⁡ θ μ 0 / ( 4 π )       ,

que não depende do comprimento L dos fios percorridos pela corrente I . Tranquilo?

Colocando os valores dados no enunciado dentro dessa expressão, com a ajuda da nossa amiga calculadora, você vai encontrar que o valor da corrente é

I ≈ 23,2   A   .

Resposta

I = λ l g s e n θ tan ⁡ θ μ 0 / ( 4 π )   ≈ 23,2   A

Exercício Resolvido #9

Quatro longos fios são dispostos ortogonalmente ao plano da página, como mostra a figura abaixo, sendo cada um deles percorrido, no sentido indicado, por uma corrente i . Determine o vetor B resultante no centro do quadrado.

Passo 1

Primeiramente, quando ele diz “longos fios”, ele quer dizer infinito. Agora, temos que lembrar que o módulo do campo magnético produzido por uma corrente transportada em um fio condutor infinito é:

B =   μ 0 i 2 π R

Sendo R, a distância do ponto P até o fio.

Passo 2

Feito isso, nós vamos utilizar a regra da mão direita (como em todos os exercícios haha) em cada um dos fios.

Sejam as correntes 1, 2, 3 e 4, conforme a figura abaixo, nósteremos os respectivos campos magnéticos B 1 → , B 2 → ,   B 3 →   e   B 4 → . Em todos os outros pontos a intereção das 4 correntes irá gerar um campo magnético nulo.

Lembrando que isso só ocorre pois todas as correntes possuem uma corrente de mesma intensidade, i .

Passo 3

Por questões de simetria, todas as componentes horizontais irão se cancelar, sobrando apenas a componente vertical.

Temos que o módulo dos campos é dado por:

B 1 = B 2 =   B 3 =   B 4 =   B =   μ 0 i 2 π R

E como temos a soma dos quatro campos vamos ter que o campo magnético resultante é dado por:

B r e s =   4 B =   2 μ 0 i π R

E sabemos que o valor de R é dado pela metade da diagonal do quadrado, ou seja:

R = a   2 2

Substituindo:

B r e s =   4 μ 0 i π a 2 =   4 μ 0 i 2 π a 2 =   2 2 μ 0 i π a

Agora só falta calcular a componente vertical do nosso campo magnético resultante:

Por se tratar de um quadrado, sabemos que o ângulo θ (em verde na figura) é de 45º.

Sendo assim, temos:

B r e s   v e r t i c a l = B r e s cos ⁡ θ =   2 2 μ 0 i π a   2 2 =   2 μ 0 i π a  

Resposta

B r e s   v e r t i c a l = 2 μ 0 i π a

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