Campo Magnético Gerado por um Fio

Teoria Completa

Introdução

Já observamos que quando uma carga em movimento é imersa em uma região com campo magnético e uma força magnética passa a atuar sobre essa carga. Mas qual é a fonte desse campo? Vamos analisar uma carga q com velocidade v e um ponto P arbitrário no espaço, a uma distância r dela, como mostra a figura:

Quando essa carga se movimenta o que acontece?

Quando cargas puntiformes começam a se mover, elas produzem ao seu redor um campo magnético. Uma superfície envolve a carga onde o campo é tangente á ela e podemos ver o sentido do campo pela regra da mão direita.

E como calcular esse campo? Usaremos a lei de Biot-Savart.

B → = μ 0 4 π q v → × r → r 3

μ 0 : Permeabilidade do vácuo ( 4 π × 10 - 7   T m / A );

v → : vetor velocidade da carga e r → indica a direção do vetor distância.

r 3 : é o cubo da distância da carga até o ponto;

Tá, mas como isso me ajuda a calcular o campo magnético gerado num fio por exemplo?

No fio o que rola é o movimento de uma distribuição de cargas que conhecemos como corrente elétrica. Assim como o movimento de uma carga isolada o movimento da corrente vai gerar campo magnético num ponto P qualquer.

Campo magnético gerado por um fio finito

Vamos começar entendendo o caso do fio finito, vamos considerar um ponto P , a uma distância R qualquer de um fio de comprimento L que transporta uma corrente i , onde o ponto P tá sobre essa reta pontilhada que passa perpendicularmente no meio do fio.

O movimento da corrente i gera um campo magnético em P , mas como calculá-lo?

Vamos utilizar a Lei de Biot-Savart para correntes:

B → = ∫ f i o   μ 0 i 4 π d l → × r → r 3

Putz, integral de vetor? Muita calma nessa hora, existe um jeito da gente integrar só o módulo se soubermos a direção do campo, pra isso coloca a sua mão direita com o polegar apontando pro sentido da corrente e com a mão envolvendo o fio.

A gente pode ver que no lado do ponto P a mão está entrando, indicando que o campo magnético entra na página. Na outra vista podemos ver o movimento dele em torno do fio formando uma superfície onde o módulo do campo tem a mesma intensidade. O vetor campo é sempre tangente a essa superfície, como na figura abaixo:

Aqui fica mais fácil de ver que o campo no ponto P está na direção y ^ e agora poderemos tirar as notações vetoriais da integral. Se te pedirem pra calcular o campo no ponto P ' que não está no eixo x basta calcular o campo pro ponto P e indicar a direção do ângulo, se liga:

B → = B → ϕ ^

Agora só precisamos analisar quem é r   vamos indicar na figura a distância de um ponto d l genérico até o ponto P .

Agora que sabemos a direção do campo, vamos tirar o produto vetorial da equação fazendo:

d l × r → = d l r s e n θ

E na equação temos:

B → = μ 0 i 4 π ∫ f i o d l r s e n θ r 3   y ^ = μ 0 i 4 π ∫ f i o d l s e n θ r 2   y ^

Olhando o desenho, a gente vê que tem um triângulo retângulo formado e podemos utilizar o teorema de Pitágoras para achar quem é r 2 :

r = R 2 + z 2

E o seno do ângulo é dado por:

s e n θ = R r

E aí a equação fica:

B → = μ 0 i 4 π ∫ f i o d l R r 3   y ^

O vetor d l → está na direção e sentido que a corrente se move, e como a corrente se move em z o infinitésimo do comprimento é dado por:

d l = d z

Vamos substituir os valores na integral e colocar os limites do fio que vai de - L / 2 até L / 2 . E enfim a temos a integral final pro campo:

B → = μ 0 i R 4 π ∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2   y ^

Geralmente esse tipo de integral vem em um formulário e como o foco aqui não é o cálculo, vamos direto ao resultado dela:

∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2 = z R 2 R 2 + z 2   z = - L / 2 z = L / 2 = L / 2 R 2 R 2 + ( L / 2 ) 2   - ( - L / 2 ) R 2 R 2 + ( - L / 2 ) 2  

∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2 = L R 2 R 2 + L 2 4  

Voltando para o campo:

B → = μ 0 i R 4 π L R 2 R 2 + L 2 4   y ^ = μ 0 i 4 π L R R 2 + L 2 4   y ^

Ufa! chegamos lá, vamos ver um outro caso agora.

Campo Gerado por um Fio infinito

O QUE?? Um fio INFINITO?? Como assim?

Caaaalma!! Dizemos que um fio é infinito quando o seu comprimento L é muito maior que a distância R que o ponto P está do fio, se liga na imagem:

Comparado ao comprimento L , a distância R se torna muito pequena e na soma dos termos ao quadrado acaba sendo irrelevante. Então na equação do fio finito esse termo aqui sofre a seguinte aproximação:

( R 2 + L 2 4 ) ≅ L 2 4

E aí o campo para o fio infinito fica

B → = μ 0 i 4 π L R R 2 + L 2 4   y ^ =   μ 0 i 4 π L R L 2 4   y ^ =   μ 0 i 4 π L R L 2   y ^ =   μ 0 i 2 π R y ^

Resumindo guarde com carinho essa equação.

B → = μ 0 i 2 π R y ^

E se o campo não tivesse sobre o eixo x , a gente pode fazer como foi mostrado pro fio finito, é o mesmo módulo numa direção ϕ   qualquer.

B → = μ 0 i 2 π R   ϕ ^

Nos problemas da vida, quando o enunciado falar em “fio muito longo”, ele está falando pra você considerar o fio infinito nos seus cálculos. Então fica de olho.

Força Magnética entre Correntes Paralelas

Mas e se colocarmos dois fios longos 1 e 2 separados por uma distância d , ambos transportando correntes elétricas, como mostra a figura, o que vai acontecer?

Ambos os fios irão produzir um campo magnético. Mas cargas em movimento na presença de campo magnético sofrem a ação de uma força magnética, lembra?

Então haverá também uma força magnética que atuará sobre o fio 1 ( F 2 → 1 ) devido ao campo que o fio 2 ( B 2 ) gera, e uma força magnética agindo sobre o fio 2 ( F 1 → 2 ) , devido ao campo que o fio 1 ( B 1 ) gera.

Vamos começar calculando a força magnética que fio 1 exerce sobre o fio 2 na seguinte situação:

Nesse caso, o campo magnético gerado pelo fio 1 no fio 2 é dado por:

B 1 = μ 0 i 1 2 π d

Onde o campo aponta para baixo, de acordo com a regra da mão direita (teste aí).

Assim a força magnética que fio 1 exerce sobre um pedaço de tamanho L do fio 2 será dada por:

F → 1 → 2 = i 2 L → × B 1 →

F 1 → 2 = μ 0 L i 1 i 2 2 π d

Usando novamente a regra da mão direita, vemos que a força será dessa forma:

Para você não ter que ser preocupar em ficar fazendo a regra da mão direita todas as vezes, eu vou te dar logo o bizu:

  • Correntes paralelas Os fios se atraem;
  • Correntes antiparalelas Os fios se repelem;

Outro detalhe muito importante é que a força gerada pelo fio 1 sobre o fio 2 é igual à força gerada pelo fio 2 sobre o fio 1 (pode conferir). Ambas são dadas por:

F 1 → 2 = F 2 → 1 = μ 0 L i 1 i 2 2 π d

Além de terem mesmo módulo as duas têm sentidos opostos! Isso te lembra algo? Sim! Essas forças entre dois fios formam um par ação-reação!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 253-9.

Na figura abaixo, dois fios retilíneos longos são perpendiculares ao plano do papel e estão separados por uma distância d 1 = 0,75   c m .

O fio 1 conduz uma corrente de 6,5   A para dentro do papel. Determine a o módulo e b o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P , situado a uma distância d 2 = 1,50   c m do fio 2.

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Passo 1

O campo magnético gerado por um fio longo é dado por:

B → = μ 0 i 2 π R   ϕ ^

Assim, para que o campo magnético seja nulo em P , é necessário que:

B 1 = B 2

μ 0 i 1 2 π d 1 + d 2 = μ 0 i 2 2 π d 2

Simplificando essa expressão, a corrente no fio 2 será:

i 2 = i 1 d 2 d 1 + d 2

Onde:

i 1 = 6,5   A

d 1 = 0,75   c m = 0,75 × 10 - 2 m

d 2 = 1,50   c m = 1,5 × 10 - 2 m

Finalmente:

i 2 = 6,5 1,5 × 10 - 2 0,75 × 10 - 2 + 1,5 × 10 - 2

i 2 = 4,3   A

Passo 2

A corrente no Fio 1 gera, em P , um campo magnético para a esquerda. Para que os campos se anulem, o Fio 2 deve gerar um campo magnético para a direita em P .

Através da regra da mão direita, isso só vai ser possível se o sentido da corrente for para fora do papel, conforme a figura abaixo:

Resposta

a

i 2 = 4,3   A

b

O sentido da corrente do Fio 2 está para fora do papel.

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Prova Final – 2014.1 – Múltipla Escolha nº7.

Dois fios retilíneos muito longos, paralelos, a uma distância de 1   m entre si, transportam, cada um, uma corrente elétrica estacionária de 1   A . O módulo da força magnética por unidade de comprimento que cada um exerce sobre o outro é:

a 4 π μ 0   A 2 / m .

b 2 π μ 0   A 2 / m .

c π μ 0   A 2 / m .

d μ 0 / π   A 2 / m  

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

f μ 0 / ( 4 π )   A 2 / m .

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Passo 1

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F 1 → 2 = I 2 L B

Onde o campo magnético gerado pelo fio 1 é dado por:

B r = μ 0 I 1 2 π r

Substituindo na expressão da força magnética, teremos:

F 1 → 2 = I 2 L . μ 0 I 1 2 π r

Assim, a força por unidade de comprimento será:

F 1 → 2 L = I 2 . μ 0 I 1 2 π r

Sabendo que r = 1   m e I 1 = I 2 = 1   A , teremos:

F 1 → 2 L = μ 0 2 π

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 254-16.

A figura abaixo mostra, em seção reta, quatro fios finos paralelos, retilíneos e muito compridos, que conduzem corrente iguais nos sentidos indicados.

Inicialmente, os quatro fios estão a uma distância d = 15,0   c m da origem do sistema de coordenadas onde criam um campo magnético total B → .

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

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Passo 1

O primeiro passo é ver onde está o campo magnético original. Como as correntes são iguais e as distâncias iniciais também são, os módulos dos campos magnéticos de cada fio também serão iguais.

Logo, usando a regra da mão direita, podemos determinar para onde estão esses campos:

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = 2 B i ^

B → = 2 μ 0 i 2 π d i ^

B → = μ 0 i π d i ^

Passo 2

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

Antes de começar, vamos defini B x como sendo a componente em x do campo magnético total e B y como sendo a componente em y do campo magnético total. Onde:

B x = B 2 + B 4

B y = B 1 - B 3

Nesse caso, como não vamos mexer com os fio 2 e 4, B x será dado por:

B x = μ 0 i 2 π d + μ 0 i 2 π d

B x = μ 0 i π d

Além disso, como não vamos mexer com o fio 3:

B 3 = μ 0 i 2 π d

Continuando...

Agora, para que haja uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário, é necessário que:

B y B x = tan ⁡ 30 °

Vamos reorganizando esse cara até acharmos o que estamos procurando:

B y = B x tan ⁡ 30 °

B 1 ' - B 3 = B x tan ⁡ 30 °

Substituindo as expressões dos campos magnéticos, teremos:

μ 0 i 2 π d ' - μ 0 i 2 π d = μ 0 i π d 3 3

Simplificando os termos:

1 d ' = 1 d + 2 3 3 d

1 d ' = 2 3 + 3 3 d

d ' = 3 d 2 3 + 3

Onde d = 15,0   c m , finalmente:

d ' = 7,0   c m

SE LIGA!!!!!!!

Aqui tem uma pegadinha... o problema pergunta para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado. Assim, como ele deve ficar a 7,0   c m da origem, ele deve ser deslocado para a posição:

x = - 7,0   c m

Passo 3

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Para que volte à orientação inicial, o campo magnético B 3 → deve cancelar o campo magnético B 1 → . Isso só vai acontecer se os dois estiverem à mesma distância da origem.

Assim, o fio 3 deve ser deslocado para a posição:

x = 7,0   c m

Resposta

a

x = - 7,0   c m

b

x = 7,0   c m

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 257-36.

Na figura abaixo, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 8,50   c m .

Todos os fios conduzem correntes de 15,0   A para fora do papel. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1?

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Passo 1

Ok, vamos começar definindo os as forças que agem sobre o fio 1.

Como todas as correntes são iguais, os módulos de cada força serão:

F 2 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

F 3 → 1 = μ 0 L i 2 2 π 2 a

F 4 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

Passo 2

Beleza, agora que já definimos os módulos, precisamos olhar para os vetores. Como todos os fios possuem correntes paralelas, todas as forças serão atrativas, logo:

Assim, as forças serão dadas por:

F 2 → 1 → = F 2 → 1 i ^

F 2 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π a i ^

F 3 → 1 → = F 3 → 1 cos ⁡ 45 ° i ^ - sen ⁡ 45 ° j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π 2 a 2 2 i ^ - 2 2 j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^

F 4 → 1 → = F 4 → 1 - j ^

F 4 → 1 → = - μ 0 L i 2 2 π a j ^

Passo 3

Assim, a força resultante sobre o fio 1 será:

F R → = F 2 → 1 → + F 3 → 1 → + F 4 → 1 →

F R → = μ 0 L i 2 2 π a i ^ + μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^ - μ 0 L i 2 2 π a j ^

F R → = 3 μ 0 L i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 L i 2 4 π a j ^

Por fim, a força resultante por unidade de comprimento será:

F R → L = 3 μ 0 i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 i 2 4 π a j ^

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i = 15,0   A

a = 8,50 × 10 - 2 m

Finalmente:

F R → L = 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 i ^ - 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 j ^

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Resposta

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 257-37.

Na figura abaixo cinco fios paralelos longos no plano x y estão separados por uma distância d = 50,0   c m .

As correntes para dentro do papel são i 1 = 2,0   A , i 3 = 0,25   A , i 4 = 4,0   A e i 5 = 2,0   A , a corrente para fora do papel é i 2 = 4,0   A . Qual é o módulo da força por unidade de comprimento que age sobre o fio 3?

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Passo 1

Beleza, o primeiro passo aqui é calcular o módulo de cada uma das forças em 3:

F 1 → 3 = μ 0 L i 1 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 1 i 3 4 π d

F 2 → 3 = μ 0 L i 2 i 3 2 π d

F 4 → 3 = μ 0 L i 4 i 3 2 π d

F 5 → 3 = μ 0 L i 5 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 5 i 3 4 π d

Passo 2

Beleza, o primeiro passo aqui é colocar graficamente onde estão cada uma dessas correntes para nos orientarmos... de acordo com o enunciado, o esquema é esse aqui:

Lembrando que, quando as correntes são paralelas os fios se atraem e quando são antiparalelas, os fios se repelem.

Dessa forma:

F 1 → 3 → = F 1 → 3 - j ^ → F 1 → 3 → = μ 0 L i 1 i 3 4 π d - j ^