Campo Magnético Gerado por um Fio

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Teoria

Fala aí! Bora aprender a calcular o Campo magnético Gerado por um Fio?

Então vamos com tudo! Vamos considerar um ponto , a uma distância qualquer de um fio de comprimento que transporta uma corrente , onde o ponto tá sobre essa reta que passa perpendicularmente no meio do fio (eixo ).

-Hãm??! 😵‍💫

Se liga no esquema:

Campo Magnético Gerado por um fio.
Campo Magnético Gerado por um fio.

O movimento da corrente gera um campo magnético em , mas como calculá-lo?

O módulo do campo magnético gerado por um fio é dado por:

Onde é a permeabilidade magnética no vácuo , é a corrente elétrica e é distância da carga até o ponto!

Talvez você até já esteja familiarizado com essa fórmula, lá do ensino médio! Perfeito, tranquilinho, sucesso! Não é?!

-Não!

Não é exatamente essa equação que vamos usar, infelizmente! 🥲

Vou te explicar o porquê, se liga nessa imagem:

Campo Gerado por um fio: Esquema
Campo Gerado por um fio: Esquema

Precisamos conseguir calcular o campo magnético considerando qualquer lugar do fio! Nesse caso precisamos incluir o cálculo dessa distância , logo ficamos com a seguinte fórmula para o campo magnético:

Essa é a Lei de Biot-Savart para correntes!

Mas, putz, integral de vetor? 🥲

Muita calma nessa hora! Existe um jeito da gente integrar só o módulo se soubermos a direção do campo!

Na imagem acima já temos esse dado, mas você também pode descobrir essa informação usando a regra da mão direita! Para isso coloca a sua mão direita com o polegar apontando pro sentido da corrente e com a mão envolvendo o fio.

Regra da Mão Direita
Regra da Mão Direita

  • Clique aqui para aprender mais sobre: Regra da Mão Direita

Podemos ver que no lado do ponto a mão está entrando, indicando que o campo magnético entra na página. Na outra vista podemos ver o movimento dele em torno do fio formando uma superfície onde o módulo do campo tem a mesma intensidade. O vetor campo é sempre tangente a essa superfície, como na figura abaixo:

Campo Magnético em torno do fio.
Campo Magnético em torno do fio.

Usando o teorema de Pitágoras e fazendo algumas manipulações, ficamos com:

Esse representa que o campo magnético esta sobre o eixo !

Campo Magnético Gerado por um Fio infinito

Como assim Fio Infinito?! 😱


Calma! Dizemos que um fio é infinito quando o seu comprimento é muito maior que a distância que o ponto está do fio, se liga na imagem:

Fio Infinito.
Fio Infinito.

Comparado ao comprimento , a distância se torna muito pequena e na soma dos termos ao quadrado acaba sendo irrelevante. Então na equação do fio finito esse termo aqui sofre a seguinte aproximação:

Então a fórmula do campo magnético para o fio infinito fica:

Agora confere esse vídeo sobre campo magnético gerado por um fio que eu separei especialmente pra você:

Bora praticar com exercícios?!

Campo Magnético Gerado por um Fio infinito

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Na figura abaixo, dois fios retilíneos longos são perpendiculares ao plano do papel e estão separados por uma distância d 1 = 0,75   c m .

O fio 1 conduz uma corrente de 6,5   A para dentro do papel. Determine a o módulo e b o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P , situado a uma distância d 2 = 1,50   c m do fio 2.

Passo 1

O campo magnético gerado por um fio longo é dado por:

B → = μ 0 i 2 π R   ϕ ^

Assim, para que o campo magnético seja nulo em P , é necessário que:

B 1 = B 2

μ 0 i 1 2 π d 1 + d 2 = μ 0 i 2 2 π d 2

Simplificando essa expressão, a corrente no fio 2 será:

i 2 = i 1 d 2 d 1 + d 2

Onde:

i 1 = 6,5   A

d 1 = 0,75   c m = 0,75 × 10 - 2 m

d 2 = 1,50   c m = 1,5 × 10 - 2 m

Finalmente:

i 2 = 6,5 1,5 × 10 - 2 0,75 × 10 - 2 + 1,5 × 10 - 2

i 2 = 4,3   A

Passo 2

A corrente no Fio 1 gera, em P , um campo magnético para a esquerda. Para que os campos se anulem, o Fio 2 deve gerar um campo magnético para a direita em P .

Através da regra da mão direita, isso só vai ser possível se o sentido da corrente for para fora do papel, conforme a figura abaixo:

Resposta

a

i 2 = 4,3   A

b

O sentido da corrente do Fio 2 está para fora do papel.

Exercício Resolvido #2

Dois fios retilíneos muito longos, paralelos, a uma distância de 1   m entre si, transportam, cada um, uma corrente elétrica estacionária de 1   A . O módulo da força magnética por unidade de comprimento que cada um exerce sobre o outro é:

a 4 π μ 0   A 2 / m .

b 2 π μ 0   A 2 / m .

c π μ 0   A 2 / m .

d μ 0 / π   A 2 / m  

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

f μ 0 / ( 4 π )   A 2 / m .

Passo 1

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F 1 → 2 = I 2 L B

Onde o campo magnético gerado pelo fio 1 é dado por:

B r = μ 0 I 1 2 π r

Substituindo na expressão da força magnética, teremos:

F 1 → 2 = I 2 L . μ 0 I 1 2 π r

Assim, a força por unidade de comprimento será:

F 1 → 2 L = I 2 . μ 0 I 1 2 π r

Sabendo que r = 1   m e I 1 = I 2 = 1   A , teremos:

F 1 → 2 L = μ 0 2 π

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e μ 0 / ( 2 π )   A 2 / m .

Exercício Resolvido #3

A figura abaixo mostra, em seção reta, quatro fios finos paralelos, retilíneos e muito compridos, que conduzem corrente iguais nos sentidos indicados.

Inicialmente, os quatro fios estão a uma distância d = 15,0   c m da origem do sistema de coordenadas onde criam um campo magnético total B → .

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Passo 1

O primeiro passo é ver onde está o campo magnético original. Como as correntes são iguais e as distâncias iniciais também são, os módulos dos campos magnéticos de cada fio também serão iguais.

Logo, usando a regra da mão direita, podemos determinar para onde estão esses campos:

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = 2 B i ^

B → = 2 μ 0 i 2 π d i ^

B → = μ 0 i π d i ^

Passo 2

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

Antes de começar, vamos defini B x como sendo a componente em x do campo magnético total e B y como sendo a componente em y do campo magnético total. Onde:

B x = B 2 + B 4

B y = B 1 - B 3

Nesse caso, como não vamos mexer com os fio 2 e 4, B x será dado por:

B x = μ 0 i 2 π d + μ 0 i 2 π d

B x = μ 0 i π d

Além disso, como não vamos mexer com o fio 3:

B 3 = μ 0 i 2 π d

Continuando...

Agora, para que haja uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário, é necessário que:

B y B x = tan ⁡ 30 °

Vamos reorganizando esse cara até acharmos o que estamos procurando:

B y = B x tan ⁡ 30 °

B 1 ' - B 3 = B x tan ⁡ 30 °

Substituindo as expressões dos campos magnéticos, teremos:

μ 0 i 2 π d ' - μ 0 i 2 π d = μ 0 i π d 3 3

Simplificando os termos:

1 d ' = 1 d + 2 3 3 d

1 d ' = 2 3 + 3 3 d

d ' = 3 d 2 3 + 3

Onde d = 15,0   c m , finalmente:

d ' = 7,0   c m

SE LIGA!!!!!!!

Aqui tem uma pegadinha... o problema pergunta para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado. Assim, como ele deve ficar a 7,0   c m da origem, ele deve ser deslocado para a posição:

x = - 7,0   c m

Passo 3

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Para que volte à orientação inicial, o campo magnético B 3 → deve cancelar o campo magnético B 1 → . Isso só vai acontecer se os dois estiverem à mesma distância da origem.

Assim, o fio 3 deve ser deslocado para a posição:

x = 7,0   c m

Resposta

a

x = - 7,0   c m

b

x = 7,0   c m

Exercício Resolvido #4

Na figura abaixo, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 8,50   c m .

Todos os fios conduzem correntes de 15,0   A para fora do papel. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1?

Passo 1

Ok, vamos começar definindo os as forças que agem sobre o fio 1.

Como todas as correntes são iguais, os módulos de cada força serão:

F 2 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

F 3 → 1 = μ 0 L i 2 2 π 2 a

F 4 → 1 = μ 0 L i 2 2 π a

Passo 2

Beleza, agora que já definimos os módulos, precisamos olhar para os vetores. Como todos os fios possuem correntes paralelas, todas as forças serão atrativas, logo:

Assim, as forças serão dadas por:

F 2 → 1 → = F 2 → 1 i ^

F 2 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π a i ^

F 3 → 1 → = F 3 → 1 cos ⁡ 45 ° i ^ - sen ⁡ 45 ° j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 2 π 2 a 2 2 i ^ - 2 2 j ^

F 3 → 1 → = μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^

F 4 → 1 → = F 4 → 1 - j ^

F 4 → 1 → = - μ 0 L i 2 2 π a j ^

Passo 3

Assim, a força resultante sobre o fio 1 será:

F R → = F 2 → 1 → + F 3 → 1 → + F 4 → 1 →

F R → = μ 0 L i 2 2 π a i ^ + μ 0 L i 2 4 π a i ^ - μ 0 L i 2 4 π a j ^ - μ 0 L i 2 2 π a j ^

F R → = 3 μ 0 L i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 L i 2 4 π a j ^

Por fim, a força resultante por unidade de comprimento será:

F R → L = 3 μ 0 i 2 4 π a i ^ - 3 μ 0 i 2 4 π a j ^

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i = 15,0   A

a = 8,50 × 10 - 2 m

Finalmente:

F R → L = 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 i ^ - 3 × 4 π × 10 - 7 × 15 2 4 π × 8,5 × 10 - 2 j ^

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Resposta

F R → L = 7,94 × 10 - 4 i ^ - 7,94 × 10 - 4 j ^   N / m

Exercício Resolvido #5

Na figura abaixo cinco fios paralelos longos no plano x y estão separados por uma distância d = 50,0   c m .

As correntes para dentro do papel são i 1 = 2,0   A , i 3 = 0,25   A , i 4 = 4,0   A e i 5 = 2,0   A , a corrente para fora do papel é i 2 = 4,0   A . Qual é o módulo da força por unidade de comprimento que age sobre o fio 3?

Passo 1

Beleza, o primeiro passo aqui é calcular o módulo de cada uma das forças em 3:

F 1 → 3 = μ 0 L i 1 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 1 i 3 4 π d

F 2 → 3 = μ 0 L i 2 i 3 2 π d

F 4 → 3 = μ 0 L i 4 i 3 2 π d

F 5 → 3 = μ 0 L i 5 i 3 2 π 2 d = μ 0 L i 5 i 3 4 π d

Passo 2

Beleza, o primeiro passo aqui é colocar graficamente onde estão cada uma dessas correntes para nos orientarmos... de acordo com o enunciado, o esquema é esse aqui:

Lembrando que, quando as correntes são paralelas os fios se atraem e quando são antiparalelas, os fios se repelem.

Dessa forma:

F 1 → 3 → = F 1 → 3 - j ^ → F 1 → 3 → = μ 0 L i 1 i 3 4 π d - j ^

F 2 → 3 → = F 2 → 3 j ^ → F 2 → 3 → = μ 0 L i 2 i 3 2 π d j ^

F 4 → 3 → = F 4 → 3 j ^ → F 4 → 3 → = μ 0 L i 4 i 3 2 π d j ^

F 5 → 3 → = F 5 → 3 j ^ → F 5 → 3 → = μ 0 L i 5 i 3 4 π d j ^

Passo 3

A força resultante sobre o fio 3 será:

F R → = F 1 → 3 → + F 2 → 3 → + F 4 → 3 → + F 5 → 3 →

F R → = - μ 0 L i 1 i 3 4 π d j ^ + μ 0 L i 2 i 3 2 π d j ^ + μ 0 L i 4 i 3 2 π d j ^ + μ 0 L i 5 i 3 4 π d j ^

A força resultante por unidade de comprimento será:

F R → L = - μ 0 i 1 i 3 4 π d j ^ + μ 0 i 2 i 3 2 π d j ^ + μ 0 i 4 i 3 2 π d j ^ + μ 0 i 5 i 3 4 π d j ^

Vou só dar uma arrumada pra facilitar os cálculos, de boa?

F R → L = μ 0 i 3 2 π d - i 1 2 + i 2 + i 4 + i 5 2 j ^

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i 1 = 2,0   A

i 2 = 4,0   A

i 3 = 0,25   A

i 4 = 4,0   A

i 5 = 2,0   A

d = 0,5   m

Jogando esses valores na expressão acima, teremos:

F R → L = 4 π × 10 - 7 × 0,25 2 π × 0,5 - 2 2 + 4 + 4 + 2 2 j ^

F R → L = 8 × 10 - 7 j ^ N / m

Resposta

F R → L = 8 × 10 - 7 j ^ N / m

Exercício Resolvido #6

Três fios paralelos e muito longos conduzem correntes de módulo igual a I , com os sentidos indicados na Figura abaixo. Sabendo que a distância entre dois fios adjacentes é igual a d , calcule o módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante por unidade de comprimento sobre cada fio.

Passo 1

Para gente calcular a força resultante em cada um dos fios acima, precisamos saber qual é o campo magnético resultante sobre cada um deles devido a todos os outros.

No primeiro fio de cima, o módulo vetor campo magnético resultante será

B R , 1 = μ 0 I 2 π 1 d - 1 2 d = μ 0 I 4 π d   .  

Esse campo magnético está entrando no plano da página, de modo que o vetor é

B → R , 1 = μ 0 I 4 π d   ( - k ^ )   .

A força que age nesse fio é

F → = I L μ 0 I 4 π d     i ^ × ( - k ^ ) = μ 0 I 2 L 4 π d   + j ^ .

Portanto, a força por unidade de comprimento é dada por

F → L = μ 0 I 2 4 π d   + j ^ .

Passo 2

Já no fio do meio, o campo resultante será nulo, pois as correntes I dos fios de cima e de baixo produzem um campo que tem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários e, por isso, se cancelam.

Portanto, a força por unidade de comprimento que age no fio do meio é NULA.

Passo 3

Por último, o módulo vetor campo magnético resultante no último fio de baixo será

B R , 1 = μ 0 I 2 π 1 d - 1 2 d = μ 0 I 4 π d   .  

Esse campo magnético está saindo do plano da página, de modo que o vetor é

B → R , 1 = μ 0 I 4 π d   k ^   .

A força que age nesse fio é

F → = I L μ 0 I 4 π d     i ^ × k ^ = μ 0 I 2 L 4 π d   - j ^ .

Assim, temos que a força por unidade de comprimento no último fio de baixo é dada por

F → L = μ 0 I 2 4 π d   - j ^ .

Resposta

Primeiro fio de cima: F → L = μ 0 I 2 4 π d   + j ^   ;

Fio do meio:   F → L = 0   ;

Fio de baixo: