Campo Magnético Gerado por um Fio Infinito

Teoria Completa

Introdução

Já observamos que quando uma carga em movimento é imersa em uma região com campo magnético uma força magnética passa a atuar sobre essa carga. Mas qual a fonte de campo magnético? Como que é dado o módulo, direção e sentido do campo magnético gerado por essa fonte? É pra descobrir isso que você está aqui hoje!!

Campo Gerado por uma Carga Pontual em Movimento

Quando cargas puntiformes começam a se mover, elas produzem ao seu redor um campo magnético. Vamos considerar uma carga q com velocidade v e um ponto P arbitrário no espaço, a uma distância r dela, como mostra a figura:

O campo magnético gerado por essa carga em movimento, naquele ponto P é dado pela seguinte fórmula:

B → = μ 0 4 π q v → × r ^ r 2

μ 0 : Permeabilidade do vácuo ( 4 π × 10 - 7   T m / A );

v → : vetor velocidade da carga;

r ^ : vetor unitário que aponta da carga q até o ponto onde estamos calculando o campo;

r 2 : quadrado da distância da carga até o ponto;

Note que na fórmula do campo magnético há um produto vetorial entre o vetor v → e o vetor r ^ (   v → × r ^   ) , então a direção e sentido do campo será dado pela regra da mão direita. Desse modo, vemos que o campo magnético no ponto P está entrando na página, como mostrado abaixo:

Como você pode ver, não é muito diferente do que nós fazíamos com a força magnética.

Campo Magnético gerado por uma distribuição de carga em movimento

Na maioria das questões a gente vai ter que trabalhar com uma distribuição de carga em movimento e não apenas uma carga. Pra isso temos que usar a versão diferencial da fórmula, trocando q por d q e B → por d B →

d B → = μ 0 4 π d q v → × r ^ r 2

Aí o campo total gerado em um determinado ponto do espaço, a uma distância r da distribuição de carga será dado por:

B → = ∫ d i s t r i b u i ç ã o d B → = ∫ d i s t r i b u i ç ã o   μ 0 4 π d q v → × r ^ r 2

Mas olha, uma distribuição de carga em movimento pode ser representada como uma corrente elétrica, ou seja, uma quantidade de carga que passa por unidade de tempo, lembra?

i = d q d t

Daqui a gente tira que um infinitésimo de carga é dado por:

d q = i d t

Beleza, só que a gente não quer integrar no tempo né, e sim na distribuição de cargas! Se você pensar numa carga d q que anda sobre o material condutor com velocidade v , essa carga num tempo d t anda uma distância d l → desse material, assim a velocidade v → pode ser reescrita como:

v → = d l → d t

Tá vendo que dentro da integral da fórmula para o campo magnético a gente tem um d q multiplicando v → ? A gente pode reescrever essa parte como:

d q v → = i d t d l → d t = i d l →

Substituindo na integral

B → = ∫ d i s t r i b u i ç ã o   μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2

E essa é a nossa Lei de Biot-Savart para correntes!

Campo Gerado por um Fio Finito

Agora, vamos considerar um ponto P , a uma distância R qualquer de um fio de comprimento L que transporta uma corrente i , assim como na situação abaixo, onde o ponto P tá sobre essa reta pontilhada que passa perpendicularmente no meio do fio.

Nós temos uma corrente passando pelo fio, que nada mais é do que uma distribuição de carga em movimento, que vai gerar um campo magnético, beleza? Então para encontrarmos o esse campo magnético gerado no ponto P vamos utilizar a Lei de Biot-Savart para correntes:

B → = ∫ f i o   μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2

Temos que integrar espacialmente ao longo do fio (por meio de d l → ).

Primeiro vamos definir os nossos eixos! Vou escolher a direção z apontando para cima, x para direita, y entrando na página, e a origem exatamente no meio do fio, assim:

Como a origem está bem no meio do fio e o fio tem comprimento L , então ele vai de z = - L / 2 até z = L / 2 . O ponto P tá sobre o eixo x a uma distância R do fio, logo as coordenadas dele são ( R ,   0 ) .

Agora vamos ver com calma cada um dos termos da nossa integral

B → = ∫ f i o μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2

Vamos definir o vetor d l → na direção e sentido que a corrente está se movendo. Então, como a corrente está se movendo na direção positiva do eixo z , o infinitésimo de comprimento será dado por:

d l → = d z z ^

Onde d z é o comprimento desse infinitésimo e z ^ é a direção para qual a corrente está se movendo.

Isso já indica que vamos integrar na direção z , ou seja, ao longo do fio. Desse modo, os nossos limites de integração serão os limites do fio, de z = - L / 2 até z = L / 2 .

Agora temos que descobrir r ^ e r 2 . Pra isso temos que pegar um ponto genérico do fio e desenhar o vetor r → que aponta do fio até o ponto P .

Olhando o desenho, a gente vê que tem um triângulo retângulo formado e podemos utilizar o teorema de Pitágoras para achar quem é r 2 :

r 2 = R 2 + z 2 = R 2 + z 2

O vetor r ^ é um vetor unitário e para encontrarmos quem é ele precisamos pegar o vetor r → e dividir por seu módulo:

r ^ = r → r

Olhando o desenho o vetor r → é dado por:

r → = R x ^ - z z ^

Que você pode interpretar como a subtração das posições final menos a inicial: r → = R , 0 - 0 , z = R ,   - z .

E o módulo do vetor a gente pode obter tirando a raiz quadrada da expressão que encontramos para r 2 .

Então, nosso vetor r ^ é:

r ^ = r → r = R x ^ - z z ^ R 2 + z 2

Agora é “só” substituir na integral

B → = ∫ f i o     μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2 = μ 0 i 4 π     ∫ - L / 2 L / 2       d z z ^ × R x ^ - z z ^ R 2 + z 2 R 2 + z 2

Eu tirei a corrente i da integral por que i é constante. Assim arrumando tudo isso, ficamos com

B → = μ 0 i 4 π     ∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2 z ^ × R x ^ - z z ^

Agora, vamos olhar com mais cuidado para o produto vetorial

z ^ × R x ^ - z z ^ = R z ^ × x ^ - z ( z ^ × z ^ )

Você sabe fazer esses produtos vetoriais? Tem um macetinho aqui para você! S2

O que significa isso? Se eu fizer o produto vetorial x ^   × y ^ , eu parto de x e vou em direção a y percorrendo o sentido positivo do círculo, assim x ^ × y ^ = + z ^ . Agora se eu quero calcular z ^ × y ^ , eu parto de z e vou em direção a y percorrendo o sentido oposto ao do círculo, assim z ^ × y ^ = - x ^ .

No nosso caso queremos calcular z ^ × x ^ e para isso iremos percorrer o sentido positivo do círculo, então:

z ^ × x ^ = y ^

E o outro produto vetorial é z ^ × z ^ . Para esse precisamos lembrar que | a → × b → | = a b s e n ( θ ) . Como o ângulo de um vetor com ele mesmo é 0 ° então a → × a → = a 2 s e n 0 ° = 0 , assim:

z ^ × z ^ = 0

Finalmente ficamos com

R z ^ × x ^ - z z ^ × z ^ = R y ^

E o campo fica

B → = μ 0 i R 4 π ∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2   y ^

Note que através do produto vetorial podemos ver que o campo gerado no ponto P vai estar apontando para dentro da página, pois está na direção de y ^

Agora tem que resolver essa integralzinha aí kkkkkk. Geralmente esse tipo de integral vem em um formulário! Se quiser dar uma lembrada a gente tem material pra caramba para te lembrar isso! É só ir lá na parte de cálculo!

Já te dando o resultado da integral

∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2 = z R 2 R 2 + z 2   z = - L / 2 z = L / 2 = L / 2 R 2 R 2 + ( L / 2 ) 2   - ( - L / 2 ) R 2 R 2 + ( - L / 2 ) 2  

∫ - L / 2 L / 2 d z R 2 + z 2 3 / 2 = L R 2 R 2 + L 2 4  

Voltando para o campo

B → = μ 0 i R 4 π L R 2 R 2 + L 2 4   y ^ = μ 0 i 4 π L R R 2 + L 2 4   y ^

É meio chatinho, mas depois que você pega a manha sai fácinho >

Campo Gerado por um Fio infinito

O QUE?? Um fio INFINITO?? Como assim?

Caaaalma!! Dizemos que um fio é infinito quando o seu comprimento L é muito maior que a distância R que o ponto P está do fio.

Como consideramos R muito pequeno, na expressão do campo magnético para um fio finito na parte que tem R 2 somando nós podemos desconsiderar porque um número quase zero somando com outro número não faz muito diferença não é mesmo?

E aí o campo para o fio infinito fica

B → = μ 0 i 4 π L R R 2 + L 2 4   y ^ =   μ 0 i 4 π L R L 2 4   y ^ =   μ 0 i 4 π L R L 2   y ^ =   μ 0 i 2 π R y ^

Vamos supor que agora queremos calcular o campo (pode ser pro fio finito também, mas vamos ficar no fio infinito) em outro ponto que esteja também a uma distância R do fio, mas não sobre o nosso eixo x . Olhando de cima, seria algo assim:

Nós vimos que no ponto P o campo magnético aponta na direção y ^ . Se quisermos saber algo no ponto P ' podemos definir um novo eixo de coordenadas x ' e y ' onde P ' esteja sobre o eixo x ' (assim como P está sobre o eixo x ), e assim o campo em P ' apontará na direção de y ' . Mais ou menos como esse desenho

Como o campo só depende da distância R então os campos nos pontos P e P ' têm a mesma intensidade, mas direções diferentes. Se a gente continuar essa construção vamos ter um campo com a seguinte cara