Contração do Comprimento

Teoria Completa

A situação que vamos criar agora é bem parecida com a que vimos anteriormente.

Imagine o mesmo vagão que usamos no capítulo de Dilatação do Tempo e que, em seu interior, agora existe uma régua, colocada horizontalmente.

Em uma das extremidades da nossa régua está uma fonte de luz e na outra está um espelho. Então, agora o feixe de luz que vamos observar se move horizontalmente.

O primeiro evento é a emissão da luz para a direita pela fonte, e o segundo evento é o retorno da luz para a fonte, após refletir no espelho.

Vamos analisar esse cenário de dois referenciais.

Primeiro Referencial

Novamente, o primeiro referencial, que vamos chamar de S ' , se move com a mesma velocidade do vagão. Nele, o Homer vai observar a trajetória do feixe de luz entre os dois eventos.

Homer verá a luz percorrer a trajetória conforme a figura abaixo.

Já que a luz vai e volta, o Homer vai ver a luz percorrendo uma distância 2 l 0 . Logo:

Δ x ' = 2 l 0 = c   Δ t 0

Δ t 0 = 2 l 0 c

Onde l 0 é o comprimento da régua observado pelo Homer.

Segundo Referencial

O segundo referencial, que vamos chamar de S , está parado e vendo o vagão se mover com velocidade u . Portanto, ele está em movimento em relação ao referencial S ' .

Nele, a Lisa vai observar a trajetória do feixe de luz entre os dois eventos.

Para Lisa, a luz vai realizar uma trajetória diferente.

A régua se desloca com velocidade u no referencial da Lisa. Vamos dividir a análise em duas partes.

Quando a luz sai da fonte, até encontrar o espelho, ela percorre uma distância Δ x 1 , dada por:

Δ x 1 = l + u Δ t 1 = c Δ t 1

Δ t 1 = l c - u

Quando a luz reflete no espelho, até voltar para a fonte, ela percorre uma distância Δ x 2 , dada por:

Δ x 2 = l - u Δ t 2 = c Δ t 2

Δ t 2 = l c + u

Onde l é o comprimento da régua observado pela Lisa.

O tempo total Δ t é dado por:

Δ t = Δ t 1 + Δ t 2 = l c - u + l c + u

Δ t = 2 l c 1 - u 2 c 2

Contração do Comprimento

Podemos relacionar Δ t 0 e Δ t pela equação de Dilatação do tempo que vimos antes, ela é essa aqui:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Agora que, para a nossa nova situação, já achamos expressões para Δ t 0 e Δ t , o nosso trabalho agora é substituir as expressões que encontramos na equação acima.

Δ t 0 = Δ t 1 - u 2 c 2  

2 l 0 c = 2 l c 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2

2 l 0 c = 2 l c 1   1 - u 2 c 2

Enfim, organizando isso tudo, a equação que encontramos é essa:

l = l 0 1 - u 2 c 2

C o n t r a ç ã o   d o s   c o m p r i m e n t o s

O termo l 0 é recorrentemente chamado de comprimento próprio ou comprimento de repouso, que é o comprimento medido por Homer no referencial S ' , onde os dois eventos ocorrem no mesmo local do espaço (a saída do laser da fonte e a chegada do laser na fonte).

Essa equação mostra que há uma diferença entre o comprimento da régua observado por Homer (referencial S ’ ) e por Lisa (referencial S ).

Como a velocidade do vagão u é menor do que a velocidade da luz c , a equação nos mostra que, para os mesmos eventos, o comprimento medido pelo Homer l 0 , que está se movendo junto com o vagão, é maior do que o comprimento medido pela Lisa l , no referencial que está em repouso.

Portanto, quanto maior a velocidade u entre os referenciais, menor será o comprimento medido por Lisa l .

Ah! Também podemos escrever a equação assim:

l = l 0 γ

Onde γ é chamado de Fator de Lorentz, e é dado por:

γ = 1 1 - u 2 c 2

γ > 1

Vamos parar por aqui, por enquanto, e fazer alguns exercícios pra fixar melhor tudo isso.

Contração do Comprimento e o Tempo

Imagina que, malandramente, você está na sua nave inocente, a explosão de uma estrela te surpreende e você sai correndo de lá. A sua nave possui velocidade u e você calcula que, pra escapar, terá que percorrer Δ l (medida no referencial das estrelas).

A primeira questão é a seguinte: Quanto tempo, medido no referencial das estrelas, será necessário para você fugir de lá?

Bom, o tempo medido no próprio referencial das estrelas será dado por:

Δ t = Δ l u

Até aqui nenhum problema já que todos os dados e cálculos estão sendo feitos para o mesmo referencial.

A próxima questão é a seguinte: Quanto tempo, medido no seu referencial, será necessário para fugir de lá?

Se liga que tem dois jeitos de calcular esse intervalo de tempo Δ t 0 .

O primeiro jeito é: calculado o intervalo Δ t no referencial das estrelas, você pode usar a equação de dilatação do tempo para calcular Δ t 0 , se liga:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2 → Δ t 0 = Δ t 1 - u 2 c 2

O segundo jeito é: se você ainda não calculou o intervalor Δ t , podemos partir da seguinte equação de cinemática.

Δ t 0 = Δ l 0 u

Usando a equação de contração dos comprimentos, temos que:

Δ l = Δ l 0 1 - u 2 c 2 → Δ l 0 = Δ l 1 - u 2 c 2

Substituindo esse cara na equação acima, teremos:

Δ t 0 = Δ l u 1 1 - u 2 c 2

No final das contas, os dois jeitos dão no mesmo lugar (como tem que ser), mas é importante saber exatamente distinguir os referenciais e saber em qual deles estamos trabalhando.

Para não vacilar, vamos fazer alguns exercícios pra fixar melhor isso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37, pp 172 – 37.9.

Uma espaçonave da Federação de Comércio passa sobre o planeta Coruscant com velocidade de 0,600 c .

Uma cientista na superfície de Coruscant mede o comprimento dessa espaçonave e obtém um valor igual a 7,40   m .

A seguir, a espaçonave pousa na superfície de Coruscant, e a mesma cientista mede o comprimento essa espaçonave, que agora está em repouso. Qual e o valor que ela encontra?

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Passo 1

Trata-se de um problema de Contração dos comprimentos, cuja equação é dada por:

l = l 0 1 - u 2 c 2

Onde l 0 é o comprimento medido no referencial em repouso (no caso, medido quando a nave pousa), l é o comprimento medido no referencial em movimento (no caso, medido quando a nave está em movimento) e u é a velocidade da nave.

Passo 2

l = l 0 1 - u 2 c 2

Onde:

l = 7,40   m ;

u = 0,600 c ;

Logo:

7,40 = l 0 1 - 0,600 c c 2

l 0 = 9,25   m

Resposta

9,25   m

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 183.

O raio da Terra é 6370   k m e a velocidade orbital do planeta é 30   k m / s . Suponha que a Terra passe por um observador com essa velocidade. Qual é a redução do diâmetro da Terra na direção do movimento, do ponto de vista do observador?

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Passo 1

A redução do diâmetro da Terra será dada por:

Δ l = l 0 - l

Onde l é dado pela equação da contração de comprimento:

l = l 0 γ

Passo 2

Logo:

Δ l = l 0 - l 0 γ = l 0 1 - 1 γ

Substituindo a expressão do fator de Lorentz, teremos:

Δ l = l 0 1 - 1 - u 2 c 2

Onde:

l 0 = 2 × 6,37 × 10 6 = 12,74 × 10 6   m

u = 30   k m / s = 3 × 10 4   m / s

c = 3 × 10 8   m / s

Portanto:

Δ l = 12,74 × 10 6 1 - 1 - 3 × 10 4 3 × 10 8 2

Δ l = 0,064   m

Resposta

Δ l = 0,064   m

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-11.

Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,740 c .

a Qual é o comprimento da nave no referencial da base?

b Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?

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Passo 1

a Qual é o comprimento da nave no referencial da base?

Através da equação de contração do comprimento, temos que:

l = l 0 γ = l 0 1 - u 2 c 2

Onde:

l 0 = 130   m

u = 0,740 c

Logo:

l = 130 1 - 0,740 c c 2

l = 87,4   m

Passo 2

b Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?

O intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base será:

Δ t = l u = 87,4 0,74 × 3 × 10 8

Δ t = 3,94 × 10 - 7 s

Resposta

a

L = 87,4   m

b

Δ t = 3,94 × 10 - 7 s

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-8.

Uma régua no referencial S ' faz um ângulo de 30 ° com o eixo x ' . Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo x do referencial S com velocidade de 0,90 c em relação ao referencial S , qual é o comprimento da régua no referencial S ?

Obs.: Considere o comprimento de repouso da régua igual a 1,0   m .

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Passo 1

Quando a régua se mover, será observada a contração do comprimento apenas na sua componente na direção x .

Assim, as componentes serão dadas por:

l x ' = l ' cos ⁡ 30 ° = 1 × 0,866 = 0,866   m

l y ' = l ' sen ⁡ 30 ° = 1 × 0,5 = 0,5   m