Relatividade do Tempo

Teoria Completa

Beleza, vamos começar a colocar os conceitos que já vimos em prática, ok?

Imagine que, no interior de um vagão de trem, existe uma fonte de luz no chão e um espelho no teto.

Vamos nomear dois eventos.

O primeiro evento é a emissão da luz para cima pela fonte, e o segundo evento é o retorno da luz para a fonte, após refletir no espelho.

Vamos analisar esse cenário a partir de dois referenciais.

Primeiro Referencial

O primeiro referencial, que vamos chamar de S ' , se move com a mesma velocidade do vagão. Portanto, ele está parado em relação ao vagão.

Nele, o Homer vai medir o intervalo de tempo Δ t 0 entre os dois eventos.

Homer verá a luz percorrer a trajetória conforme a figura abaixo.

O tempo Δ t 0 que o Homer mede entre os dois eventos é dado por:

Δ t 0 = 2 d c

Onde d é a altura do vagão e c é a velocidade da luz.

Segundo Referencial

O segundo referencial, que vamos chamar de S , está parado e vendo o vagão se mover com velocidade u . Portanto, ele está em movimento em relação ao referencial S ' .

Nele, a Lisa vai medir o intervalo de tempo Δ t entre os dois eventos.

Para Lisa, a luz vai realizar uma trajetória diferente.

O tempo Δ t que a Lisa mede entre os dois eventos é dado por:

Δ t = 2 l c

Onde, usando o teorema de Pitágoras:

l = d 2 + u Δ t 2 2

Portanto:

Δ t = 2 c d 2 + u Δ t 2 2

Dilatação do Tempo

Para relacionar Δ t 0 com Δ t , vou isolar nas duas equações o d 2 e vamos ver no que dá.

Do tempo medido por Homer, temos:

Δ t 0 = 2 d c → d = c Δ t 0 2

d 2 = c 2 Δ t 0 2 4

Do tempo medido por Lisa, temos:

Δ t = 2 c d 2 + u Δ t 2 2 → d 2 = c 2 Δ t 2 4 - u 2 Δ t 2 4

Igualando essas duas expressões, vamos ter o seguinte:

d 2 = c 2 Δ t 0 2 4 = c 2 Δ t 2 4 - u 2 Δ t 2 4

Organizando essa equação, vamos chegar no seguinte:

Δ t 0 2 = Δ t 2 1 - u 2 c 2

Por fim:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

D i l a t a ç ã o   d o   t e m p o

Essa equação mostra que há uma diferença entre o tempo medido pelo Homer (referencial S ’ ) e pela Lisa (referencial S ).

Como a velocidade do vagão u é, e deve ser sempre, menor do que a velocidade da luz c , a equação nos mostra que, para os mesmos eventos, o tempo medido pelo Homer Δ t 0 , que está se movendo junto com o vagão, é menor do que o tempo medido pela Lisa Δ t , no referencial que está em repouso.

Portanto, quanto maior a velocidade u entre os referenciais, maior será o intervalo de tempo medido por Lisa   Δ t .

Ah! Também podemos escrever a equação da seguinte forma:

Δ t = γ Δ t 0

Onde γ é chamado de Fator de Lorentz, e é dado por:

γ = 1 1 - u 2 c 2

γ > 1

Obs.: Em alguns lugares, a razão u / c pode ser substituída pelo parâmetro de velocidade β .

Distância Percorrida

E se ele nos perguntar sobre a distância percorrida nesse intervalo?

Simples!

Bom, a distância percorrida pelo trem de acordo com o nosso referencial ( S – Lisa) será dada por:

D = u Δ t

De acordo com o nosso referencial, o tempo será:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Logo, a distância percorrida pelo trem que mediremos será:

D = u Δ t 0 1 - u 2 c 2

Então, é importante saber exatamente distinguir os referenciais e saber em qual deles estamos trabalhando.

Parece mole, mas é importante ficar esperto, ok?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2011.2-ME01

Os tripulantes da USS Enterprise NCC-1701, que se encontra a uma distância de 0,01   a n o s - l u z da Terra, enviam uma mensagem para o centro de controle da Terra, avisando que irão cessar as comunicações durante 2   d i a s , intervalo de tempo durante o qual o software da nave será atualizado.

Supondo que a Enterprise viaja a uma velocidade de v = 0,6 c em relação à Terra, quantos dias terão transcorrido na Terra nesse período?

  1. 0,5
  2. 0,75
  3. 0,8
  4. 1
  5. 1,2
  6. 1,25
  7. 1,5
  8. 1,6
  9. 2,5
  10. 3
  11. 6
  12. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Trata-se de um problema de Dilatação do tempo, cuja equação é dada por:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Onde Δ t 0 é o tempo próprio, no caso, o tempo medido na nave. E u é a velocidade da nave.

Passo 2

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Onde:

Δ t 0 = 2   d i a s ;

u = 0,6 c ;

Logo:

Δ t = 2 1 - 0,6 c 2 c 2 = 2 1 - 0,36 = 2 0,64 = 2 0,8

Δ t = 2,5   d i a s

Resposta

Letra (i): 2,5   d i a s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177.

Uma partícula instável de alta energia entra em um detector e deixa um rastro com 1,05 m m de comprimento viajando a uma velocidade de 0,992 c , antes de decair.

Qual é o tempo de vida próprio da partícula? Em outras palavras, quanto tempo a partícula levaria para decair se estivesse em repouso em relação ao detector?

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Passo 1

O intervalo de tempo medido no referencial em repouso é dado por:

Δ t = d u

Δ t = 1,05 × 10 - 3 0,992 × 3 × 10 8

Δ t = 3,53 × 10 - 12 s

Passo 2

Utilizando a equação de dilatação do tempo, podemos determinar o tempo próprio:

Δ t = γ Δ t 0 → Δ t 0 = Δ t γ

Δ t 0 = Δ t 1 - u c 2

Substituindo os valores, teremos:

Δ t 0 = 3,53 × 10 - 12 × 1 - 0,992 c c 2

Δ t 0 = 4,45 × 10 - 13 s

Resposta

Δ t 0 = 4,45 × 10 - 13 s

Exercício Resolvido #3

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37, pp 172 - 37.7.

Uma espaçonave se afasta da Terra com velocidade de 4,80 × 10 6   m / s em relação à Terra e a seguir volta com a mesma velocidade.

A espaçonave transporta um relógio atômico que foi cuidadosamente sincronizado com outro relógio que permaneceu na Terra.

A espaçonave retorna a seu ponto de partida 365 dias (um ano) mais tarde, conforme medido pelo relógio que ficou na Terra.

Qual a diferença entre os intervalos de tempo, em horas, medidos pelos dois relógios?

Qual dos dois relógios, o que ficou na Terra ou o da espaçonave, indica o menor intervalo de tempo?

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Passo 1

Trata-se de um problema de Dilatação do tempo, cuja equação é dada por

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Onde Δ t 0 é o tempo medido na nave, Δ t é o tempo medido na Terra e u é a velocidade da nave.

O problema nos pede inicialmente a diferença entre os intervalos de tempo, em horas, medidos pelos dois relógios.

Δ t - Δ t 0

Passo 2

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Onde:

Δ t = 1   a n o = 365 × 24 = 8760   h ;

u = 4,80 × 10 6   m / s ;

c = 3 × 10 8 m / s ;

Logo:

8760 = Δ t 0 1 - 4,80 × 10 6 3 × 10 8 2

Δ t 0 = 8758,88   h

Passo 3

Δ t - Δ t 0 = 8760 - 8758,88

Δ t - Δ t 0 = 1,12 h

Passo 4

Qual dos dois relógios, o que ficou na Terra ou o da espaçonave, indica o menor intervalo de tempo?

O relógio na espaçonave indicará o menor tempo.

Resposta

1,12 h ;

Relógio na espaçonave;

Exercício Resolvido #4

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37, pp 172 – 37.5.

O píon negativo π - é uma partícula instável que possui vida média aproximadamente igual a 2,60 × 10 - 8   s (medida no sistema de referência do píon).

  1. Quando o píon se desloca com velocidade muito grande em relação ao laboratório, sua vida média em relação ao laboratório é de 4,20 × 10 - 7 s . Calcule a velocidade do píon expressa como uma fração de c .
  2. Qual é a distância que o píon percorre no laboratório durante sua vida média?
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Passo 1

a) Quando o píon se desloca com velocidade muito grande em relação ao laboratório, sua vida média em relação ao laboratório é de 4,20 × 10 - 7 s . Calcule a velocidade do píon expressa como uma fração de c .

O problema nos diz que o tempo medido no referencial (em movimento) do píon é 2,60 × 10 - 8 s , e nos diz também que o tempo medido no laboratório (em repouso) é 4,20 × 10 - 7 s .

Assim, podemos usar a equação de Dilatação do tempo, dada por:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Passo 2

Δ t 0 = 2,60 × 10 - 8 s ;

Δ t = 4,20 × 10 - 7 s ;

Logo:

4,20 × 10 - 7 = 2,60 × 10 - 8 1 - u 2 c 2

1 - u 2 c 2 = 0,062

1 - u 2 c 2 = 3,83 × 10 - 3

u = 0,998 c

Passo 3

b) Qual é a distância que o píon percorre no laboratório durante sua vida média?

Como estamos medindo a distância no referencial do laboratório, o tempo medido para vida média é Δ t = 4,20 × 10 - 7 s .

Assim:

u = Δ d Δ t → Δ d = u   Δ t

Onde:

Δ t = 4,20 × 10 - 7 s ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

u = 0,998 c = 2,994 × 10 8 m / s ;

Logo:

Δ d = 2,994 × 10 8 × 4,20 × 10 - 7

Δ d ≅ 126 m

Resposta

a)

0,998 c

b)

126   m

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 178.

Um astronauta parte da Terra e viaja com velocidade de 0,99 c em direção à estrela Vega, que está a 26   a n o s - l u z de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, a quando o astronauta chegar a Vega; b quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

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Passo 1

a Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?

Δ t = L u = ( 26   a n o s - l u z ) 0,99 c

Podemos escrever a velocidade da luz em anos-luz/ano. Basta lembrar que a luz viaja 1 ano-luz em 1 ano, ou seja, c = 1   a n o - l u z / a n o . Assim:

Δ t = 26 0,99.1 = 26,26   a n o s

Passo 2

b Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega?

O tempo total será igual à soma do tempo levado pelo astronauta para chegar à estrela com o tempo levado para o sinal chegar à Terra.

Se o sinal viaja na velocidade da luz e a estrela está à 26   a n o s - l u z de distância, o sinal levará 26   a n o s para chegar na Terra, logo:

Δ t = 26,26 + 26 = 52,26   a n o s

Passo 3

c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

O tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra foi o que calculamos no item a , logo:

Δ t = 26,26   a n o s

O tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo é o tempo próprio, e podemos calculá-lo através da equação de dilatação do tempo:

Δ t = γ Δ t 0 → Δ t 0 = Δ t γ

Assim, a diferença entre os tempos será:

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 γ

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 - u c 2

Substituindo os valores, teremos:

Δ t - Δ t 0 = 26,26 1 - 1 - 0,99 c c 2

Δ t - Δ t 0 = 22,55   a n o s

Resposta

a

Δ t = 26,26   a n o s

b

Δ t = 52,26   a n o s

c

Δ t - Δ t 0 = 22,55   a n o s

Exercício Resolvido #6

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 183.

Um píon é criado na parte superior da atmosfera da Terra quando um raio cósmico colide com um núcleo atômico. O píon assim formado desce em direção à superfície da Terra com uma velocidade de 0,99 c .

Em um referencial no qual estão em repouso os píons decaem com uma vida média de 26   n s . No referencial da Terra, que distância um píon percorre (em média) na atmosfera antes de decair?

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Passo 1

A distância medida no referencial da Terra será:

d = u Δ t

Utilizando a equação de dilatação do tempo, temos que:

Δ t = γ Δ t 0

Logo:

d = u γ Δ t 0

Passo 2

Substituindo a expressão do fator de Lorentz, temos:

d = u Δ t 0 1 - u c 2

Onde:

u = 099 c = 0,99 × 3 × 10 8   m / s

c = 3 × 10 8   m / s

Δ t 0 = 26   n s = 26 × 10 - 9 s

Finalmente:

d = 0,99 × 3 × 10 8 × 26 × 10 - 9 1 - 099 c c 2

d = 54,74   m

Resposta

d = 54,74   m

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