Colisões Elásticas

Teoria Completa

Colisões

Você já brincou com aquelas bolinhas pula-pula? Quando era pequeno eu amava pedir R$1,00 para minha mãe para usar naquelas maquininhas que você gira e ganha uma bolinha.

Percebi que quanto mais forte e mais rápido eu jogava a bolinha no chão, mais rápido ela voltava para a minha mão. Quando fiquei mais velho, no colégio, aprendi que os físicos chamam esse fenômeno, do contato entre o chão e a bolinha, de colisão.

Momento Linear e Colisões

Pensando ainda na nossa bolinha pula-pula, durante aquele microssegundo que a bolinha está em contato com o solo, podemos considerar que ela está livre da atuação de forças externas e quando isso acontece dizemos que existe a Conservação do Momento Linear. Podemos generalizar isso para todos os tipos de colisões, ou seja, nos exercícios de colisão vamos considerar que existe a Conservação do Momento Linear do sistema.

∑ p i → =   ∑ p f →

Aaah então é por isso que, quanto mais rápido eu jogava a bolinha para baixo, mais rápido ela voltava para mim, da uma olhada:

m b o l i n h a ⋅ v i → = m b o l i n h a ⋅ v f →        

Como a massa da bolinha não se altera, a velocidade inicial tem que ser igual à velocidade final!

Então tudo bem, mas até agora só pensamos na colisão entre uma bolinha e o chão, e essa é uma situação bem boba, porque sabemos que o chão vai estar sempre ali, paradão. Mas e se eu quisesse jogar uma bolinha contra a outra. O que será que aconteceria?

Em uma colisão unidimensional iremos aplicar novamente a Conservação do Momento Linear, então se nosso exemplo tivesse duas partículas que vão colidir:

Poderíamos escrever nossa equação da Conservação do Momento Linear como:

m a ⋅ v a i + m b ⋅ v b i = m a ⋅ v a f + m b ⋅ v b f  

Que representa exatamente do lado esquerdo, o Momento Linear Inicial do sistema e do lado direito o Momento Linear Final do sistema.

Sempre que adicionarmos uma nova partícula, teremos que adicionar do lado esquerdo da nossa equação o Momento Linear Inicial dessa nova partícula, e do lado direito o Momento Linear Final dessa nova partícula.

Colisões Bidimensionais

As colisões em duas dimensões acontecem quando nossos objetos estão sobre um plano, e não sobre apenas uma linha, e podemos ver esse tipo de situação em um jogo de sinuca! Os melhores jogadores do mundo de sinuca entendem muito bem (nem que seja empiricamente) como aquelas bolinhas vão se comportar depois que se chocarem.

Em colisões bidimensionais, teremos que lembrar como decompor vetores e trabalhar com nossos dados em eixos separados e perpendiculares:

Teríamos por tanto que montar uma equação da Conservação do Momento Linear para o Eixo X, e uma equação da Conservação do Momento Linear para o Eixo Y.

Colisões Elásticas

Agora da uma reparada nessa imagem aqui:

Eh... Eu sei. Deve ter doído... Mas o que eu quero chamar a sua atenção é para o formato da bola. A gente sabe que a princípio a bola é redonda né? Mas a gente pode ver que, exatamente no momento da colisão, tanto o rosto do jogador quanto a bola sofrem deformação. Provavelmente após o choque ele vai ficar com o rosto inchado, ou quem sabe até com o nariz sangrando kkk (coitado), mas te garanto que a bola vai voltar a ser redondinha logo no momento seguinte.

Esse é o segredo das colisões elásticas. Quando uma colisão é elástica dizemos que os objetos não sofrem deformação residual e por causa disso conservam a Energia Cinética do movimento. Dá uma olhada no exemplo da nossa bolinha pula-pula:

No primeiro quadro, ela está caindo em direção ao solo. No segundo quadro, ela sofre uma deformação por estar colidindo. Mas no terceiro quadro, podemos observar que ela é restituída para a sua forma original e por isso conserva a sua energia cinética e por tanto podemos considerar a colisão da nossa bolinha pula-pula uma colisão elástica.

Resuminho

Para colisões elásticas temos a Conservação do Momento Linear e a Conservação da Energia Cinética:

∑ p i → =   ∑ p f →

∑ K i → =   ∑ K f →

Então montaremos as seguintes equações para uma colisão entre duas partículas:

m 1 ⋅ v 1 i + m 2 ⋅ v 2 i = m 1 ⋅ v 1 f + m 2 ⋅ v 2 f

m 1 ⋅ v 1 i 2 2 + m 2 ⋅ v 2 i 2 2 = m 1 ⋅ v 1 f 2   2 + m 2 ⋅ v 2 f 2 2

E provavelmente no problema teríamos duas incógnitas para descobrir a partir da resolução do sistema dessas duas equações.

Para nossa sorte, muitas vezes uma das bolinhas se encontra no repouso no início do movimento, e isso acabaria eliminando uma das parcelas do nosso problema!

Bora dar uma olhada nos exercícios? Não esqueça:

Se a é Colisão Elástica Existe a Conservação do Momento Linear e a Conservação da Energia Cinética.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ – 2ª Lista

Considere um choque frontal entre duas bolinhas, como esquematizado na figura abaixo ( m 1 = 1   kg ; m 2   =   2   kg ; v 1 = 4   m/s ; v 2 = 2   m/s ):

a Supondo que a colisão seja elástica (a energia mecânica se conserva), calcule as velocidades após o choque.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Para determinar a velocidade das bolinhas após a colisão, vamos utilizar do dado que a colisão é elástica logo conserva energia mecânica.

E mec antes = E mec depois

Antes da colisão temos somente as bolinhas se movimentando, portanto só temos energia cinética, temos então:

E mec antes = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2  

Substituindo os valores, temos:

E mec antes = 1 ⋅ 4 2 2 + 2 ⋅ 2 2 2

E mec antes = 12   J

Depois da colisão, também teremos somente energia cinética, temos então:

E mec depois = m 1 v 1 ' 2 2 + m 2 v 2 ' 2 2

Onde v 1 ' e v 2 ' são as velocidades depois da colisão das bolinhas 1 e 2 respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

E mec depois = 1 ⋅ v 1 ' 2 2 + 2 ⋅ v 2 ' 2 2

Igualando a energia antes com a energia depois, temos:

E mec antes = E mec depois

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

Vishh, temos duas variáveis v 1 ' e v 2 ' e só uma equação, por isso, temos que utilizar outro artifício, devemos lembrar que em uma colisão em um sistema isolado (sem ação de outras forças), temos que o momento linear sempre se conserva! Vamos então utilizar a conservação do momento linear!

Passo 2

De acordo com a conservação do momento linear, temos:

p → 1 antes + p → 2 antes = p → 1 depois + p → 2 depois

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 '

substituindo os valores, temos:

1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 1 ⋅ v 1 ' + 2 ⋅ v 2 '

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Pronto!! Agora temos duas equações e duas incógnitas. A primeira equação vem do “passo 1 ”, onde fizemos a conservação da energia mecânica e a segunda equação vem da conservação do momento linear:

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Agora é só resolver esse sistema!

Substituindo o valor de v 1 ' = 8 - 2 v 2 ' na primeira equação, temos:

12 = 8 - 2 v 2 ' 2 2 + v 2 ' 2

12 = ( 64 - 32 v 2 ' + 4 v 2 ' 2 ) 2 + v 2 ' 2

12 = 32 - 16 v 2 ' + 2 v 2 ' 2 +   v 2 ' 2

3 v 2 ' 2 - 16 v 2 ' + 20 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas raízes, no entanto, temos que a única raiz possível é:

v 2 ' = 10 3   m/s

(a outra raiz é 2 m / s , que é a velocidade antes da colisão, por isso não é uma solução possível já que sabemos que a velocidade tem que mudar!)

Dessa forma, a velocidade da bolinha 1 depois da colisão é:

v 1 ' = 8 - 2 v 2 '

v 1 ' = 8 - 2 10 3

v 1 ' = 4 3   m/s

Resposta

a   v 2 ' = 10 3   m/s ;     v 1 ' = 4 3   m/s

Exercício Resolvido #2

USP – 2ª Prova – 2014

Dois pêndulos de comprimento L = 2,5   m estão suspensos juntos conforme a figura abaixo. O pêndulo 1 (de massa m 1 = 1,0   k g ) é solto a partir do repouso de uma altura h = 80   c m enquanto que o pêndulo 2 (de massa m 2 = 3,0   k g ) está em repouso na posição vertical.

Considerando inicialmente que a colisão é elástica determine:

a A velocidade do pêndulo 1 imediatamente antes do choque.

b A velocidade de cada pêndulo imediatamente depois do choque.

Dado: g = 10   m / s 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Por conservação de energia:

E 0 = E f

U 0 + K 0 = U f + K f

Tomando o ponto mais baixo como referencial de energia potencial U nula, U f = 0 e lembrando que o pendulo 1 parte do repouso, portanto K 0 = 0 :

m 1 . g . h = 1 2 m 1 v 1 2

v 1 = 2   .   10   .   0,8

v 1 = 4   m / s

Passo 2

b   Visto que o enunciado informou para tratarmos como uma colisão elástica, ou seja, sem perdas de energia. Podemos utilizar conservação de energia cinética e conservação de momento linear.

Por conservação de momento linear:

m 1 . v 1 0 + m 2 . v 2 0 = m 1 . v 1 f + m 2 . v 2 f

O Pendulo 2 estava em repouso antes da colisão, portanto v 2 0 = 0 .

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 . v 2 f

Por conservação de energia cinética:

1 2 m 1 . v 1 0 2 + 1 2 m 2 . v 2 0 2 = 1 2 m 1 . v 1 f 2 + 1 2 m 2 . v 2 f 2

Novamente, lembremos que v 2 0 = 0

m 1 v 1 0 2 - v 1 f 2 = m 2 . v 2 f 2

m 1 v 1 0 - v 1 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Ficamos então com o sistema:

m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 . v 2 f m 1 v 1 i - v 1 f v 1 i + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

m 2 . v 2 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora o v 2 f na primeira equação do sistema:

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora que m 1 = 1   k g , m 2 = 3   k g e v 1 0 = 4   m / s .

1 4 - v 1 f = 3 4 + v 1 f

v 1 f = - 2   m / s

Lembrando que:

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

v 2 f = 4 - 2