Colisões Elásticas

Teoria Completa

Colisões

Você já brincou com aquelas bolinhas pula-pula? Quando era pequeno, eu amava pedir R$1,00 para minha mãe para usar naquelas maquininhas que você gira e ganha uma bolinha.

Percebi que quanto mais forte e mais rápido eu jogava a bolinha no chão, mais rápido ela voltava para a minha mão. Quando fiquei mais velho, no colégio, aprendi que os físicos chamam esse fenômeno, do contato entre o chão e a bolinha, de colisão.

Momento Linear e Colisões

Pensando ainda na nossa bolinha pula-pula, durante aquele microssegundo que a bolinha está em contato com o solo, podemos considerar que ela está livre da atuação de forças externas e quando isso acontece dizemos que existe a Conservação do Momento Linear. Podemos generalizar isso para todos os tipos de colisões, ou seja, nos exercícios de colisão vamos considerar que existe a Conservação do Momento Linear do sistema.

∑ p i → =   ∑ p f →

Aaah então é por isso que, quanto mais rápido eu jogava a bolinha para baixo, mais rápido ela voltava para mim, dá uma olhada:

m b o l i n h a ⋅ v i → = m b o l i n h a ⋅ v f →        

Como a massa da bolinha não se altera, a velocidade inicial tem que ser igual à velocidade final!

Então tudo bem, mas até agora só pensamos na colisão entre uma bolinha e o chão, e essa é uma situação bem boba, porque sabemos que o chão vai estar sempre ali, paradão. Mas e se eu quisesse jogar uma bolinha contra a outra. O que será que aconteceria?

Em uma colisão unidimensional iremos aplicar novamente a Conservação do Momento Linear, então se nosso exemplo tivesse duas partículas que vão colidir:

Poderíamos escrever nossa equação da Conservação do Momento Linear como:

m a ⋅ v a i → + m b ⋅ v b i → = m a ⋅ v a f → + m b ⋅ v b f →  

Que representa exatamente do lado esquerdo, o Momento Linear Inicial do sistema e do lado direito o Momento Linear Final do sistema.

Sempre que adicionarmos uma nova partícula, teremos que adicionar do lado esquerdo da nossa equação o Momento Linear Inicial dessa nova partícula, e do lado direito o Momento Linear Final dessa nova partícula.

Colisões Bidimensionais

As colisões em duas dimensões acontecem quando nossos objetos estão sobre um plano, e não sobre apenas uma linha, e podemos ver esse tipo de situação em um jogo de sinuca! Olha a imagem aqui:

Primeiro temos uma bolinha que colidirá com outras duas, após a colisão (segundo quadro) as bolinhas terão vetores de velocidade que não estão na mesma direção da velocidade inicial da bolinha 1. Mas podemos decompor esses vetores de velocidade!

Em colisões bidimensionais, teremos que lembrar como decompor vetores e trabalhar com nossos dados em eixos separados e perpendiculares:

Vamos decompor as velocidades final das bolinhas 2 e 3:

v 2 f → =   v 2 f x → = v 2 f   . cos ⁡ Ө 2   î v 2 f y → = v 2 f   . sen ⁡ Ө 2 j ^

v 3 f → =   v 3 f x → = v 3 f   . cos ⁡ Ө 3   î v 3 f y → = v 3 f   . sen ⁡ Ө 3 j ^

Percebemos que tanto a velocidade inicial quanto a velocidade final da bolinha 1: estão no sentido positivo do eixo y :

v 1 i → = v 1 i y →

v 1 f → = v 1 f y →

Teríamos por tanto que montar uma equação da Conservação do Momento Linear para o Eixo Y, e uma equação da Conservação do Momento Linear para o Eixo X. Como por exemplo:

m 1   .   v 1 i y → = m 1   .   v 1 f y → +   m 2   . v 2 f y → + m 3   .   v 3 f y →

Como não temos velocidade inicial no sentido de x :

0 =   m 2   .   v 2 f x → + m 3   .   v 3 f x →

Colisões Elásticas

Agora dá uma reparada nessa imagem aqui:

Eh... Eu sei. Deve ter doído... Mas o que eu quero chamar a sua atenção é para o formato da bola. A gente sabe que a princípio a bola é redonda né? Mas a gente pode ver que, exatamente no momento da colisão, tanto o rosto do jogador quanto a bola sofrem deformação. Provavelmente após o choque ele vai ficar com o rosto inchado, ou quem sabe até com o nariz sangrando kkk (coitado), mas te garanto que a bola vai voltar a ser redondinha logo no momento seguinte.

Esse é o segredo das colisões elásticas. Quando uma colisão é elástica dizemos que os objetos não sofrem deformação residual e por causa disso conservam a Energia Cinética do movimento:

  K =   m   . v 2 2

Dá uma olhada no exemplo da nossa bolinha pula-pula:

No primeiro quadro, ela está caindo em direção ao solo. No segundo quadro, ela sofre uma deformação por estar colidindo. Mas no terceiro quadro, podemos observar que ela é restituída para a sua forma original e por isso conserva a sua energia cinética e por tanto podemos considerar a colisão da nossa bolinha pula-pula uma colisão elástica.

Em casos que envolvam uma mola ideal, a colisão sempre será elástica!

Colisão elástica frontal

Para colisões que só ocorrem em uma dimensão e não tem a dissipação de energia, podemos considerar tanto a conservação do momento linear e a conservação da energia cinética. Então vamos fazer um exemplo desse? Vamos supor uma bolinha 1 de massa 10   k g a uma velocidade inicial igual a 10 m / s que se choca com outra bolinha 2 de massa 5   k g que inicialmente está em repouso, ou seja, velocidade inicial igual a zero!

Depois que ocorrer a colisão, as duas bolinhas terão 2 velocidades finais que desejamos saber:

Vamos começar pela equação da Conservação do Momento Linear:

∑ p i → =   ∑ p f →

Como inicialmente só temos a velocidade da bolinha 1, logo só temos o momento linear dela:

m 1   .   v 1 i → = m 1   .   v 1 f → + m 2   .   v 2 f →  

Substituindo os valores que já conhecemos das massas e a velocidade inicial:

10.10 = 10 .   v 1 f → + 5   .   v 2 f →

Dividindo tudo por 5, temos:

v 2 f → = 20 -   2   v 1 f →

Como estamos em uma direção e mesmo sentido, podemos retirar a notação vetorial:

v 2 f = 20 - 2 v 1 f

Vamos considerar agora a Conservação da Energia Cinética:

∑ K i → =   ∑ K f →

m 1 ⋅ v 1 i 2 2 =   m 1 ⋅ v 1 f 2   2 + m 2 ⋅ v 2 f 2 2

Prestou atenção que não estamos colocando a notação vetorial? É porque a Energia cinética é uma grandeza escalar, enquanto o Momento linear é uma grandeza vetorial!

Vamos substituir os valores das massas e velocidades que conhecemos:

10 ⋅ 10 2 2 =   10 ⋅ v 1 f 2   2 + 5 ⋅ v 2 f 2 2

Dividindo todas as parcelas por 5 / 2 :

v 2 f 2 = 200 - 2 v 1 f 2

Vamos substituir:

v 2 f = 20 - 2 v 1 f

20 - 2 v 1 f 2 = 200 - 2 v 1 f 2

Fazendo esse produto notável:

400 - 80 v 1 f + 4 v 1 f 2 = 200 - 2 v 1 f 2

Logo temos uma equação do segundo grau:

6 v 1 f 2 - 80 v 1 f + 200 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, chegamos em:

v 1 f = 10 m s ou v 1 f = 3,33 m s

Como sabemos que a bolinha 1 colidiu com outra bolinha, logo sua velocidade não pode continuar a mesma! Logo:

v 1 f = 3,33 m s

E substituindo em v 2 f :

v 2 f = 20 - 2 ( 3,33 )

v 2 f = 13,34 m / s

Faz muito sentido, não é pessoal? A bolinha mais leve sai da colisão com uma velocidade maior!

Resuminho

Para colisões elásticas temos a Conservação do Momento Linear e a Conservação da Energia Cinética:

∑ p i → =   ∑ p f →

∑ K i → =   ∑ K f →

Então montaremos as seguintes equações para uma colisão entre duas partículas:

m 1 ⋅ v 1 i + m 2 ⋅ v 2 i = m 1 ⋅ v 1 f + m 2 ⋅ v 2 f

m 1 ⋅ v 1 i 2 2 + m 2 ⋅ v 2 i 2 2 = m 1 ⋅ v 1 f 2   2 + m 2 ⋅ v 2 f 2 2

E provavelmente no problema teríamos duas incógnitas para descobrir a partir da resolução do sistema dessas duas equações.

Para nossa sorte, muitas vezes uma das bolinhas se encontra no repouso no início do movimento, e isso acabaria eliminando uma das parcelas do nosso problema!

Bora dar uma olhada nos exercícios? Não esqueça:

Se a é Colisão Elástica Existe a Conservação do Momento Linear e a Conservação da Energia Cinética.

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Exercício Resolvido #1

UERJ – 2ª Lista

Considere um choque frontal entre duas bolinhas, como esquematizado na figura abaixo ( m 1 = 1   kg ; m 2   =   2   kg ; v 1 = 4   m/s ; v 2 = 2   m/s ):

a Supondo que a colisão seja elástica (a energia mecânica se conserva), calcule as velocidades após o choque.

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Passo 1

a Para determinar a velocidade das bolinhas após a colisão, vamos utilizar do dado que a colisão é elástica logo conserva energia mecânica.

E mec antes = E mec depois

Antes da colisão temos somente as bolinhas se movimentando, portanto só temos energia cinética, temos então:

E mec antes = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2  

Substituindo os valores, temos:

E mec antes = 1 ⋅ 4 2 2 + 2 ⋅ 2 2 2

E mec antes = 12   J

Depois da colisão, também teremos somente energia cinética, temos então:

E mec depois = m 1 v 1 ' 2 2 + m 2 v 2 ' 2 2

Onde v 1 ' e v 2 ' são as velocidades depois da colisão das bolinhas 1 e 2 respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

E mec depois = 1 ⋅ v 1 ' 2 2 + 2 ⋅ v 2 ' 2 2

Igualando a energia antes com a energia depois, temos:

E mec antes = E mec depois

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

Vishh, temos duas variáveis v 1 ' e v 2 ' e só uma equação, por isso, temos que utilizar outro artifício, devemos lembrar que em uma colisão em um sistema isolado (sem ação de outras forças), temos que o momento linear sempre se conserva! Vamos então utilizar a conservação do momento linear!

Passo 2

De acordo com a conservação do momento linear, temos:

p → 1 antes + p → 2 antes = p → 1 depois + p → 2 depois

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 '

substituindo os valores, temos:

1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 1 ⋅ v 1 ' + 2 ⋅ v 2 '

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Pronto!! Agora temos duas equações e duas incógnitas. A primeira equação vem do “passo 1 ”, onde fizemos a conservação da energia mecânica e a segunda equação vem da conservação do momento linear:

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Agora é só resolver esse sistema!

Substituindo o valor de v 1 ' = 8 - 2 v 2 ' na primeira equação, temos:

12 = 8 - 2 v 2 ' 2 2 + v 2 ' 2

12 = ( 64 - 32 v 2 ' + 4 v 2 ' 2 ) 2 + v 2 ' 2

12 = 32 - 16 v 2 ' + 2 v 2 ' 2 +   v 2 ' 2

3 v 2 ' 2 - 16 v 2 ' + 20 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas raízes, no entanto, temos que a única raiz possível é:

v 2 ' = 10 3   m/s

(a outra raiz é 2 m / s , que é a velocidade antes da colisão, por isso não é uma solução possível já que sabemos que a velocidade tem que mudar!)

Dessa forma, a velocidade da bolinha 1 depois da colisão é:

v 1 ' = 8 - 2 v 2 '

v 1 ' = 8 - 2 10 3

v 1 ' = 4 3   m/s

Resposta

a   v 2 ' = 10 3   m/s ;     v 1 ' = 4 3   m/s

Exercício Resolvido #2

USP – 2ª Prova – 2014

Dois pêndulos de comprimento L = 2,5   m estão suspensos juntos conforme a figura abaixo. O pêndulo 1 (de massa m 1 = 1,0   k g ) é solto a partir do repouso de uma altura h = 80   c m enquanto que o pêndulo 2 (de massa m 2 = 3,0   k g ) está em repouso na posição vertical.

Considerando inicialmente que a colisão é elástica determine:

a A velocidade do pêndulo 1 imediatamente antes do choque.

b A velocidade de cada pêndulo imediatamente depois do choque.

Dado: g = 10   m / s 2 .

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Passo 1

a Por conservação de energia:

E 0 = E f

U 0 + K 0 = U f + K f

Tomando o ponto mais baixo como referencial de energia potencial U nula, U f = 0 e lembrando que o pendulo 1 parte do repouso, portanto K 0 = 0 :

m 1 . g . h = 1 2 m 1 v 1 2

v 1 = 2   .   10   .   0,8

v 1 = 4   m / s

Passo 2

b   Visto que o enunciado informou para tratarmos como uma colisão elástica, ou seja, sem perdas de energia. Podemos utilizar conservação de energia cinética e conservação de momento linear.

Por conservação de momento linear:

m 1 . v 1 0 + m 2 . v 2 0 = m 1 . v 1 f + m 2 . v 2 f

O Pendulo 2 estava em repouso antes da colisão, portanto v 2 0 = 0 .

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 . v 2 f

Por conservação de energia cinética:

1 2 m 1 . v 1 0 2 + 1 2 m 2 . v 2 0 2 = 1 2 m 1 . v 1 f 2 + 1 2 m 2 . v 2 f 2

Novamente, lembremos que v 2 0 = 0

m 1 v 1 0 2 - v 1 f 2 = m 2 . v 2 f 2

m 1 v 1 0 - v 1 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Ficamos então com o sistema:

m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 . v 2 f m 1 v 1 i - v 1 f v 1 i + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

m 2 . v 2 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora o v 2 f na primeira equação do sistema:

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora que m 1 = 1   k g , m 2 = 3   k g e v 1 0 = 4   m / s .

1 4 - v 1 f = 3 4 + v 1 f

v 1 f = - 2   m / s

Lembrando que:

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

v 2 f = 4 - 2

v 2 f = 2   m / s

Resposta

a )   v 1 = 4   m / s

b )   v 1 f = - 2   m / s

          v 2 f = 2   m / s

Exercício Resolvido #3

UFRJ – 2ª Prova – 2015.1a

Um bloco de massa M está em equilíbrio preso a uma mola ideal, de constante elástica k , inicialmente em sua posição relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de módulo v 0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna após a colisão no sentido oposto com velocidade de módulo v 0 / 2 .

Considere que: a colisão é instantânea; que a mola é ideal; que a resistência do ar é desprezível; e que a gravidade tem módulo g conhecido.

Determine, em função dos dados do problema:

c A razão m / M para que a colisão seja elástica.

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Passo 1

c Para a colisão ser elástica, a energia cinética deve se conservar!

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala

K S i s t e m a 0 = 1 2 m v 0 2

Depois da colisão, a velocidade da bala é v 0 2 e a do bloco é V . Então a energia cinética final do sistema é

K s i s t e m a f = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Passo 2

Bom, temos as massas as quais queremos saber a razão entre elas, mas ainda temos a velocidade do bloco V como incógnita, então temos que descobri-la e faremos isso por conservação de momento linear.

Como estamos estudando uma colisão, e o enunciado ainda fez questão de enfatizar ser instantânea, vamos usar a relação que na colisão há conservação de momento linear, então

p a n t e s = p d e p o i s

Vamos analisar o momento linear antes do impacto:

A bala tem massa m e velocidade inicial de módulo v 0 , enquanto o bloco tem massa M , mas está parado.

Vamos definir o sentido de v → 0 (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

p 0 = m v 0 + M ⋅ 0 = m v 0

Passo 3

Agora o momento linear depois da colisão:

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo v 0 / 2 no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco M vai ter a velocidade V , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

p f = m - v 0 2 + M V = M V - m v 0 2

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

p 0 = p f

⇒ m v 0 = M V - m v 0 2

⇒ 3 2 m v 0 = M V

⇒ V = 3 m v 0 2 M

Passo 4

Agora que temos V , podemos resolver a equação que achamos pela conservação de energia, basta multiplicar tudo por 2 e substituir V = 3 m v 0 2 M :

m v 0 2 = m v 0 2 2 + M 3 m v 0 2 M 2

⇒ m v 0 2 = m v 0 2 4 + M ⋅ 9 m 2 v 0 2 4 M 2

Podemos dividir tudo por m v 0 2 , aí sobra:

1 = 1 4 + 9 m M 4 M 2 = 1 4 + 9 m 4 M

⇒ 9 m 4 M = 3 4

⇒ m M = 4 9 ∙ 3 4 = 3 9 = 1 3

Então pra colisão ser elástica, devemos ter

m M = 1 3

Resposta

c m M = 1 3

Exercício Resolvido #4

UERJ – 2ª Lista

Uma bolinha de massa m e velocidade 13   m/s colide com outra bolinha de massa m (inicialmente em repouso) como mostra a figura abaixo. Considere que o choque é elástico (a energia mecânica se conserva) e que cos ⁡ θ = 12 13 .

a Escreva as equações de conservação de E M e de Q .

b Calcule as velocidades finais.

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Passo 1

a   Quando temos uma colisão elástica, temos que a energia mecânica total do sistema se conserva. No caso do nosso sistema, onde temos duas bolinhas, a equação da conservação da energia mecânica será:

m 1 v 1 0 2 2 + m 2 v 2 0 2 2 = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2

Sabendo que as massas são iguais, v 1 0 = 13   m/s e que v 2 0 = 0 , temos:

m ⋅ 13 2 + m ⋅ 0 2 = m ⋅ v 1 f 2 + m ⋅ v 2 f 2

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Passo 2

Pela figura, podemos perceber que se trata de uma colisão em duas dimensões, quando isso ocorre, podemos tratar cada coordenada separadamente. Para o momento linear, ou quantidade de movimento, temos:

No eixo x :

m 1 v 1 x 0 + m 2 v 2 x 0 = m 1 v 1 x f + m 2 v 2 x f

sabendo que as massas são iguais, v 1 x 0 = 13   m/s e v 2 x 0 = 0 , temos:

m ⋅ 13 + m ⋅ 0 = m ⋅ v 1 x f + m ⋅ v 2 x f

13 = v 1 x f + v 2 x f

No eixo y :

m 1 v 1 y 0 + m 2 v 2 y 0 = m 1 v 1 y f + m 2 v 2 y f

sabendo que as massas são iguais, e que v 1 y 0 = v 2 y 0 = 0 , temos:

m ⋅ 0 + m ⋅ 0 = m v 1 y f + m v 2 y f

0 = v 1 y f + v 2 y f

Agora que temos todas as equações, vamos para a letra b !

Passo 3

b   Para determinar a velocidade final das bolinhas temos que lembrar da relação entre o módulo das velocidades e suas componentes, pela regra do “COlado/SEparado”

v 1 f cos ⁡ θ = v 1 x f

v 1 f ⋅ 12 13 = v 1 x f

sabendo da relação v 2 = v x 2 + v y 2 , temos:

v 1 f 2 = v 1 x f 2 + v 1 y f 2

v 1 f 2 = v 1 f ⋅ 12 13 2 + v 1 y f 2

v 1 y f 2 = v 1 f ⋅ 5 13 2

v 1 y f = v 1 f ⋅ 5 13

Agora que temos as componentes da velocidade final da bolinha 1 em função do módulo da velocidade, podemos agora achar a mesma relação só que para a bolinha 2 !

Passo 4

Pela conservação do momento linear no eixo y , temos:

v 1 y f = - v 2 y f

ou seja:

v 2 y f = - v 1 f ⋅ 5 13

Pela conservação do momento linear no eixo x , temos:

13 = v 1 x f + v 2 x f

Substituindo v 1 f ⋅ 12 13 = v 1 x f