Colisão Elástica

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Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre Colisão Elástica?

O que é uma Colisão Elástica?

Sempre que tivermos uma colisão elástica vai haver a conservação do momento linear e da energia cinética após o choque entre dois corpos!

Como Identificar Colisões Elásticas?

Pra entendermos melhor como identificar colisões elásticas, vamos olhar esse caso super clássico:

Colisão Elástica.
Colisão Elástica.

Temos duas bolinhas, uma indo em direção da outra. Elas vão se chocar e depois cada uma vai seguir seu caminho com velocidades diferentes das iniciais.

Podemos descrever a colisão elástica usando duas expressões, uma para conservação do momento linear e outra para a conservação da energia cinética!

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Quer aprender mais?! Nesse vídeozinho a gente fala mais sobre como identificar uma colisão elástica e como resolver problemas! 👇

Conservação do Momento Linear

Na colisão elástica, temos então o momento linear inicial igual a final:

Conservação do momento linear
Conservação do momento linear

Abrindo essa expressão para o nosso exemplo, ficamos com:

A massa das bolinhas vão se manter, mas as velocidades vão mudar! Do lado esquerdo, temos o Momento Linear Inicial do sistema e do lado direito o Momento Linear Final do sistema.

Conservação da Energia Cinética

Agora, a conservação da energia cinética escrevemos como:

Colisão Elástica: Conservação da energia cinética
Colisão Elástica: Conservação da energia cinética

Abrindo a expressão:

A mesma coisa aqui, do lado esquerdo, temos o Energia Cinética Inicial do sistema e do lado direito o Energia Cinética Final do sistema.

Exemplo: Como Calcular a Velocidades após uma Colisão Elástica

Pra tudo ficar mais claro, vamos fazer um exemplo juntinhos!

Vamos supor uma bolinha 1 de massa a uma velocidade inicial igual a que se choca com outra bolinha 2 de massa que inicialmente está em repouso, ou seja, velocidade inicial igual a zero!

Colisão elástica. Estado inicial
Colisão elástica. Estado inicial

Depois que ocorrer a colisão, as duas bolinhas terão velocidades finais diferentes das iniciais que desejamos saber:

Colisão Elástica. Estado Final.
Colisão Elástica. Estado Final.

Passo 1: Conservação do Momento Linear

Vamos começar pela equação da Conservação do Momento Linear:

Substituindo os valores:

Agora damos uma arrumadinha, e como estamos na mesma direção, podemos tirar as setinhas:

Passo 2: Conservação da Energia Cinética

Agora chegou a vez da conservação da energia cinética:

Substituindo os valores:

Organizando:

Passo 3: Calcular as velocidades finais

Até agora chegamos em:

Agora chegou a hora de substituir! Substituindo em :

Fazendo esse produto notável:

Logo temos uma equação do segundo grau:

Resolvendo a equação de segundo grau, chegamos em:

Como sabemos que a bolinha 1 colidiu com outra bolinha, logo sua velocidade não pode continuar a mesma! Logo:

Aweee! Agora, bora praticar com mais exercícios?

Exemplo: Como Calcular a Velocidades após uma Colisão Elástica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere um choque frontal entre duas bolinhas, como esquematizado na figura abaixo ( m 1 = 1   kg ; m 2   =   2   kg ; v 1 = 4   m/s ; v 2 = 2   m/s ):

a Supondo que a colisão seja elástica (a energia mecânica se conserva), calcule as velocidades após o choque.

Passo 1

a Para determinar a velocidade das bolinhas após a colisão, vamos utilizar do dado que a colisão é elástica logo conserva energia mecânica.

E mec antes = E mec depois

Antes da colisão temos somente as bolinhas se movimentando, portanto só temos energia cinética, temos então:

E mec antes = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2  

Substituindo os valores, temos:

E mec antes = 1 ⋅ 4 2 2 + 2 ⋅ 2 2 2

E mec antes = 12   J

Depois da colisão, também teremos somente energia cinética, temos então:

E mec depois = m 1 v 1 ' 2 2 + m 2 v 2 ' 2 2

Onde v 1 ' e v 2 ' são as velocidades depois da colisão das bolinhas 1 e 2 respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

E mec depois = 1 ⋅ v 1 ' 2 2 + 2 ⋅ v 2 ' 2 2

Igualando a energia antes com a energia depois, temos:

E mec antes = E mec depois

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

Vishh, temos duas variáveis v 1 ' e v 2 ' e só uma equação, por isso, temos que utilizar outro artifício, devemos lembrar que em uma colisão em um sistema isolado (sem ação de outras forças), temos que o momento linear sempre se conserva! Vamos então utilizar a conservação do momento linear!

Passo 2

De acordo com a conservação do momento linear, temos:

p → 1 antes + p → 2 antes = p → 1 depois + p → 2 depois

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 '

substituindo os valores, temos:

1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 1 ⋅ v 1 ' + 2 ⋅ v 2 '

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Pronto!! Agora temos duas equações e duas incógnitas. A primeira equação vem do “passo 1 ”, onde fizemos a conservação da energia mecânica e a segunda equação vem da conservação do momento linear:

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Agora é só resolver esse sistema!

Substituindo o valor de v 1 ' = 8 - 2 v 2 ' na primeira equação, temos:

12 = 8 - 2 v 2 ' 2 2 + v 2 ' 2

12 = ( 64 - 32 v 2 ' + 4 v 2 ' 2 ) 2 + v 2 ' 2

12 = 32 - 16 v 2 ' + 2 v 2 ' 2 +   v 2 ' 2

3 v 2 ' 2 - 16 v 2 ' + 20 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas raízes, no entanto, temos que a única raiz possível é:

v 2 ' = 10 3   m/s

(a outra raiz é 2 m / s , que é a velocidade antes da colisão, por isso não é uma solução possível já que sabemos que a velocidade tem que mudar!)

Dessa forma, a velocidade da bolinha 1 depois da colisão é:

v 1 ' = 8 - 2 v 2 '

v 1 ' = 8 - 2 10 3

v 1 ' = 4 3   m/s

Resposta

a   v 2 ' = 10 3   m/s ;     v 1 ' = 4 3   m/s

Exercício Resolvido #2

Dois pêndulos de comprimento L = 2,5   m estão suspensos juntos conforme a figura abaixo. O pêndulo 1 (de massa m 1 = 1,0   k g ) é solto a partir do repouso de uma altura h = 80   c m enquanto que o pêndulo 2 (de massa m 2 = 3,0   k g ) está em repouso na posição vertical.

Considerando inicialmente que a colisão é elástica determine:

a A velocidade do pêndulo 1 imediatamente antes do choque.

b A velocidade de cada pêndulo imediatamente depois do choque.

Dado: g = 10   m / s 2 .

Passo 1

a Por conservação de energia:

E 0 = E f

U 0 + K 0 = U f + K f

Tomando o ponto mais baixo como referencial de energia potencial U nula, U f = 0 e lembrando que o pendulo 1 parte do repouso, portanto K 0 = 0 :

m 1 . g . h = 1 2 m 1 v 1 2

v 1 = 2   .   10   .   0,8

v 1 = 4   m / s

Passo 2

b   Visto que o enunciado informou para tratarmos como uma colisão elástica, ou seja, sem perdas de energia. Podemos utilizar conservação de energia cinética e conservação de momento linear.

Por conservação de momento linear:

m 1 . v 1 0 + m 2 . v 2 0 = m 1 . v 1 f + m 2 . v 2 f

O Pendulo 2 estava em repouso antes da colisão, portanto v 2 0 = 0 .

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 . v 2 f

Por conservação de energia cinética:

1 2 m 1 . v 1 0 2 + 1 2 m 2 . v 2 0 2 = 1 2 m 1 . v 1 f 2 + 1 2 m 2 . v 2 f 2

Novamente, lembremos que v 2 0 = 0

m 1 v 1 0 2 - v 1 f 2 = m 2 . v 2 f 2

m 1 v 1 0 - v 1 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Ficamos então com o sistema:

m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 . v 2 f m 1 v 1 i - v 1 f v 1 i + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

m 2 . v 2 f v 1 0 + v 1 f = m 2 . v 2 f 2

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora o v 2 f na primeira equação do sistema:

m 1 v 1 0 - v 1 f = m 2 v 1 0 + v 1 f

Substituindo agora que m 1 = 1   k g , m 2 = 3   k g e v 1 0 = 4   m / s .

1 4 - v 1 f = 3 4 + v 1 f

v 1 f = - 2   m / s

Lembrando que:

v 2 f = v 1 0 + v 1 f

v 2 f = 4 - 2

v 2 f = 2   m / s

Resposta

a )   v 1 = 4   m / s

b )   v 1 f = - 2   m / s

          v 2 f = 2   m / s

Exercício Resolvido #3

Um bloco de massa M está em equilíbrio preso a uma mola ideal, de constante elástica k , inicialmente em sua posição relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de módulo v 0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna após a colisão no sentido oposto com velocidade de módulo v 0 / 2 .

Considere que: a colisão é instantânea; que a mola é ideal; que a resistência do ar é desprezível; e que a gravidade tem módulo g conhecido.

Determine, em função dos dados do problema:

c A razão m / M para que a colisão seja elástica.

Passo 1

c Para a colisão ser elástica, a energia cinética deve se conservar!

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala

K S i s t e m a 0 = 1 2 m v 0 2

Depois da colisão, a velocidade da bala é v 0 2 e a do bloco é V . Então a energia cinética final do sistema é

K s i s t e m a f = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Passo 2

Bom, temos as massas as quais queremos saber a razão entre elas, mas ainda temos a velocidade do bloco V como incógnita, então temos que descobri-la e faremos isso por conservação de momento linear.

Como estamos estudando uma colisão, e o enunciado ainda fez questão de enfatizar ser instantânea, vamos usar a relação que na colisão há conservação de momento linear, então

p a n t e s = p d e p o i s

Vamos analisar o momento linear antes do impacto:

A bala tem massa m e velocidade inicial de módulo v 0 , enquanto o bloco tem massa M , mas está parado.

Vamos definir o sentido de v → 0 (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

p 0 = m v 0 + M ⋅ 0 = m v 0

Passo 3

Agora o momento linear depois da colisão:

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo v 0 / 2 no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco M vai ter a velocidade V , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

p f = m - v 0 2 + M V = M V - m v 0 2

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

p 0 = p f

⇒ m v 0 = M V - m v 0 2

⇒ 3 2 m v 0 = M V

⇒ V = 3 m v 0 2 M

Passo 4

Agora que temos V , podemos resolver a equação que achamos pela conservação de energia, basta multiplicar tudo por 2 e substituir V = 3 m v 0 2 M :

m v 0 2 = m v 0 2 2 + M 3 m v 0 2 M 2

⇒ m v 0 2 = m v 0 2 4 + M ⋅ 9 m 2 v 0 2 4 M 2

Podemos dividir tudo por m v 0 2 , aí sobra:

1 = 1 4 + 9 m M 4 M 2 = 1 4 + 9 m 4 M

⇒ 9 m 4 M = 3 4

⇒ m M = 4 9 ∙ 3 4 = 3 9 = 1 3

Então pra colisão ser elástica, devemos ter

m M = 1 3

Resposta

c m M = 1 3

Exercício Resolvido #4

Uma bolinha de massa m e velocidade 13   m/s colide com outra bolinha de massa m (inicialmente em repouso) como mostra a figura abaixo. Considere que o choque é elástico (a energia mecânica se conserva) e que cos ⁡ θ = 12 13 .

a Escreva as equações de conservação de E M e de Q .

b Calcule as velocidades finais.

Passo 1

a   Quando temos uma colisão elástica, temos que a energia mecânica total do sistema se conserva. No caso do nosso sistema, onde temos duas bolinhas, a equação da conservação da energia mecânica será:

m 1 v 1 0 2 2 + m 2 v 2 0 2 2 = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2

Sabendo que as massas são iguais, v 1 0 = 13   m/s e que v 2 0 = 0 , temos:

m ⋅ 13 2 + m ⋅ 0 2 = m ⋅ v 1 f 2 + m ⋅ v 2 f 2

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Passo 2

Pela figura, podemos perceber que se trata de uma colisão em duas dimensões, quando isso ocorre, podemos tratar cada coordenada separadamente. Para o momento linear, ou quantidade de movimento, temos:

No eixo x :

m 1 v 1 x 0 + m 2 v 2 x 0 = m 1 v 1 x f + m 2 v 2 x f

sabendo que as massas são iguais, v 1 x 0 = 13   m/s e v 2 x 0 = 0 , temos:

m ⋅ 13 + m ⋅ 0 = m ⋅ v 1 x f + m ⋅ v 2 x f

13 = v 1 x f + v 2 x f

No eixo y :

m 1 v 1 y 0 + m 2 v 2 y 0 = m 1 v 1 y f + m 2 v 2 y f

sabendo que as massas são iguais, e que v 1 y 0 = v 2 y 0 = 0 , temos:

m ⋅ 0 + m ⋅ 0 = m v 1 y f + m v 2 y f

0 = v 1 y f + v 2 y f

Agora que temos todas as equações, vamos para a letra b !

Passo 3

b   Para determinar a velocidade final das bolinhas temos que lembrar da relação entre o módulo das velocidades e suas componentes, pela regra do “COlado/SEparado”

v 1 f cos ⁡ θ = v 1 x f

v 1 f ⋅ 12 13 = v 1 x f

sabendo da relação v 2 = v x 2 + v y 2 , temos:

v 1 f 2 = v 1 x f 2 + v 1 y f 2

v 1 f 2 = v 1 f ⋅ 12 13 2 + v 1 y f 2

v 1 y f 2 = v 1 f ⋅ 5 13 2

v 1 y f = v 1 f ⋅ 5 13

Agora que temos as componentes da velocidade final da bolinha 1 em função do módulo da velocidade, podemos agora achar a mesma relação só que para a bolinha 2 !

Passo 4

Pela conservação do momento linear no eixo y , temos:

v 1 y f = - v 2 y f

ou seja:

v 2 y f = - v 1 f ⋅ 5 13

Pela conservação do momento linear no eixo x , temos:

13 = v 1 x f + v 2 x f

Substituindo v 1 f ⋅ 12 13 = v 1 x f   , temos:

13 = v 1 f ⋅ 12 13 + v 2 x f

v 2 x f = 13 - v 1 f ⋅ 12 13

Agora que temos todas as componentes em função do módulo da velocidade final da bolinha 1 , é só substituir na equação da conservação da energia mecânica, se liga no próximo passo!

Passo 5

Pela equação da conservação da energia mecânica, temos:

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

13 2 = v 1 f 2 + ( v 2 x f 2 + v 2 y f 2 )  

substituindo os valores em função de v 1 f :

13 2 = v 1 f 2 + 13 - v 1 f ⋅ 12 13 2 + - v 1 f ⋅ 5 13 2  

13 2 = v 1 f 2 + 13 2 - 24 v 1 f + v 1 f 2 ⋅ 12 2 13 2 + v 1 f 2 ⋅ 25 13 2

24 v 1 f = 2 v 1 f 2

v 1 f = 12   m/s

Substituindo na equação na energia mecânica, podemos determinar a velocidade da bolinha 2 !

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

13 2 = 12 2 + v 2 f 2

v 2 f = 5   m/s

Resposta

a   Conservação da Energia Mecânica:

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Conservação do Momento Linear:

e i x o   x →   13 = v 1 x f + v 2 x f

e i x o   y →   v 1 y f = - v 2 y f

b v 1 f = 12   m/s ; v 2 f = 5   m/s

Exercício Resolvido #5

Uma bola de massa m , com velocidade de 24   m / s que faz um ângulo de 60 ° com a horizontal, atinge o centro de uma placa, também de massa m , que se encontra inicialmente em repouso. Durante a colisão não há atrito e, devido à colisão, podemos considerar que a placa se move apenas verticalmente. Considerando esta colisão elástica, determine:

a Que grandezas são conservadas nesta colisão. Justifique.

b A direção e sentido dos vetores impulso atuando sobre a placa e sobre a bola.

c   O vetor velocidade final de ambas as massas, bola e placa, logo após o impacto.

d O vetor força média que atuou na bola sabendo que o tempo da colisão foi de 10 - 5   s .

Passo 1

a   Em uma colisão, temos que o momento linear se conserva, pois não atuam forças externas ao sistema. Por se tratar de uma colisão elástica, temos que a energia cinética também se conserva.

Passo 2

b   Para determinar o vetor impulso, vamos relembrar sua definição:

I → = Δ p → = m . ( v → f - v → 0 )

No caso da placa, como não há movimento no eixo x nem antes nem depois da colisão temos que o impulso I x é zero.

Já no eixo y , pela equação de momento temos

I y = p y f - p y o

Como o momento inicial da placa é zero, pois ela estava em repouso, descobrimos que haverá impulso na direção y

I y = p y f