Exercícios Resolvidos de Força da Radiação Eletromagnética

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Enunciado

Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a 3,00   cm e a amplitude do campo elétrico é igual a 9,00   V / m .

Dê as suas respostas em valores numéricos.

  1. Qual é a frequência desta onda?
  2. Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ , escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
  3. A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.
  4. Qual é a intensidade desta onda?
  5. Qual é a força média que a radiação exerce sobre uma superfície totalmente absorvedora perpendicular à direção de propagação com área igual a 0,200 π   m 2 ?

Passo 1

Letra a)

O problema nos dá o comprimento de onda λ , a amplitude do campo elétrico E máx e nos pede a frequência da onda f .

Para descobrir o valor de f podemos usar a seguinte relação:

c = λ f → f = c λ

Onde:

λ = 3,0   cm = 3 × 10 - 2   m ;

c = 3,0 × 10 8   m / s ;

Logo:

f = 3,0 × 10 8 3,0 × 10 - 2 = 10 10   Hz

Passo 2

Letra b)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabendo que o vetor de campo elétrico E → deve ser perpendicular à direção de propagação, podemos colocar o campo elétrico no sentido do vetor + y ^ .

Sabemos também que uma onda eletromagnética senoidal possui um campo elétrico do tipo:

E → = E máx cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t y ^

Nesse caso, aparece um k → pois a onda se desloca tanto no sentido + 4 x ^ quanto no sentido - 3 z ^ .

Em casos como esse, dizemos que

k → = k ⋅ ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Relaxa! Eu sei que isso é novo! Mas é importante você lembrar disso, porque questões como esta e a anterior costumam cair bastante!

Assim, o número de onda k é calculado por

ω = k c → 2 π f = k c

k = 2 π f c

Onde:

f = 10 10   Hz ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

k = 2 π × 10 10 3 × 10 8 = 200 π 3

k → = 200 π 3   ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Como:

4 x ^ - 3 z ^ = 4 2 + - 3 2 = 5

k → = 200 π 15 ( 4 x ^ - 3 z ^ )

Se a gente fizer o produto:

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x ^ - 3 z ^ ⋅ x x ^ + y y ^ + z z ^

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x - 3 z

Como dissemos anteriormente, podemos calcular o valor de ω através da seguinte relação:

ω = 2 π f

Onde:

f = 10 10   H z ;

Logo:

ω = 2 π × 10 10   rad / s

Como o problema nos diz que E m á x vale 9,00   V/m , agora podemos, finalmente, escrever o vetor campo elétrico E → , dado por:

E → = 9,00 ⋅ cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π ⋅ 10 10 t y ^         V / m  

Passo 3

Letra c)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabendo que o vetor de campo magnético B → deve ser perpendicular à direção de propagação 4 x ^ - 3 z ^ , e perpendicular ao vetor campo elétrico E → ( + y ^ ) .

A partir disso, já sabemos que B → possui componentes apenas nas direções x ^ e z ^ .

Assim, a direção do vetor campo magnético deve obedecer aos seguintes requisitos:

E ^ × B ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 4 x ^ - 3 z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

E ^ ∙ B ^ = 0

Portanto:

E ^ × B ^ = 0,1 , 0 × a , b , c = x ^ y ^ z ^ 0 1 0 a b c

c x ^ - a z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

c = 4 5 ;   a = 3 5

B ^ = 3 5 x ^ + 4 5 z ^

Sabemos esta onda eletromagnética senoidal possuirá um campo magnético do tipo:

B → = B máx cos ⁡   k → ⋅ r → - ω t 3 x ^ + 4 z ^ 5  

Onde:

B máx = E máx c = 9 3 × 10 8 = 3,0 × 10 - 8   T ;

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5   T

Passo 4

Letra d)

Agora temos que calcular a intensidade da onda I , que é dada por:

I = E máx B máx 2 μ 0

Onde:

B máx = 3,0 × 10 - 8   T ;

E máx = 9,00 V m ;

μ 0 = 4 π × 10 - 7 N A 2 ;

Logo:

I = 9,0 × 3,0 × 10 - 8 2 × 4 π × 10 - 7 ≅ 0,1075   W / m 2

Passo 5

Letra e)

Temos que calcular a força média que a radiação exerce sobre uma superfície totalmente absorvedora perpendicular à direção de propagação com área igual a 0,200 π   m 2 .

Podemos relacionar a força F e a área A por

F = P ∙ A

Onde P é a pressão de radiação que, como a superfície é totalmente absorvedora, é dada por

P = I c

Logo:

F = I A c

Onde:

I = 0,1075   W / m 2 ;

A = 0,200 π   m 2 ;

c = 3 × 10 8   m/s ;

Assim:

F = 0,1075 × 0,2 π 3 × 10 8 ≅ 2,25 × 10 - 10   N

Resposta

Letra (a):

f = 10 10   Hz

Letra (b):

E → = 9,00 ⋅ cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π ⋅ 10 10 t y ^         V / m  

Letra (c):

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5   T

Letra (d):

I = 0,1075   W / m 2

Letra (e):

F = 2,25 × 10 - 10   N

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