Exercícios Resolvidos de Força de Sustentação

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Enunciado

Uma bola de tênis lisa, com massa de 57   g e 64   m m de diâmetro, é golpeada na sua parte superior (topsipin) a 25   m . s - 1 , o que lhe confere uma rotação de 7500   r p m . Calcule a sustentação aerodinâmica atuando sobre a bola. Avalie o raio de curvatura da sua trajetória na máxima elevação do plano vertical. Comapre com o raio quando não houver rotação.

(Dados: C L = 0,30 e ρ a r = 1,23   k g . m - 3 )

Passo 1

Bom, vamos lá! Esse problema se relaciona com o que chamamos de efeito Magnus. O efeito Magnus ocorre quando um corpo, além de se mover em uma direção, roda em torno de seu próprio eixo. Dá uma olhada aqui em baixo:

Observe que ao golpearmos a bola de tênis na parte superior, ela apresentará determinada rotação (sentido horário) além de se mover para frente. Então, a gente percebe que:

  • Na parte de cima: a velocidade da superfície da bola tem sentido oposto ao escoamento do ar.
  • Na parte de baixo: a velocidade da superfície da bola tem mesmo sentido que o escoamento do ar.

Dessa forma, o fluido na parte de cima é desacelerado e o fluido na parte de baixo é acelerado, surgindo, assim, regiões com diferentes velocidades e, consequentemente, regiões com diferentes pressões.

Como a velocidade na parte superior é menor que a velocidade na parte inferior, logo a pressão em cima será maior que a pressão em baixo, gerando uma força de sustentação de cima para baixo ( F L ).

Bacana! A gente já viu como calcular a força de sustentação:

F L = C L . 1 2 . ρ . A . V ²

A área da projeção ( A ) será a área do círculo de diâmetro igual ao da esfera ( D ):

F L = C L . 1 2 . ρ . π . D 2 4 . V ²

F L = π 8 . C L . D 2 . ρ . V ²

Substituindo os valores de cada grandeza, teremos:

F L = π 8 . 0,30 . 0,064   m 2 . 1,23   k g . m - 3 . 25   m . s - 1 ²

F L = 0,371   N

Passo 2

Como vimos, a bola é atingida na parte de cima e “ganha rotação” no sentido horário, resultando numa força resultante para baixo. Usando a segunda lei de Newton para avaliar a curvatura da trajetória no plano vertical temos:

∑ F z = m . a z

- F L - m . g = m . a z

Lembre-se de que a aceleração centrípeta ( a z ) é dada por:

a z = V 2 R

Substituindo a expressão na equação, teremos:

- F L - m . g = m . V 2 R 1

Então, dividindo a equação por m e isolando o raio ( R 1 ), temos que:

R 1 = V 2 g + F L m

R 1 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1 + 0,371   N 0,057   k g

R 1 = 38,3   m

Passo 3

Se não houvesse rotação, as linhas de corrente seriam simétricas e a gente não verificaria diferenças de pressão. Logo a componente da força de sustentação ( F L ) seria zero! Consequentemente a expressão do raio seria dada por:

R 2 = V 2 g

R 2 = 25   m . s - 1 2 9,81   m . s - 1

R 2 = 63,7   m

Concluimos, portanto, que há diferença entre as situações com rotação e sem rotação, logo o efeito Magnus é importante!

Resposta

A força de sustentação calculada foi de:

F L = 0,371   N

Os valores do raio calculados na situação com rotação ( R 1 ) e sem rotação ( R 2 ) são respectivamente:

R 1 = 38,3   m

e

R 2 = 63,7   m

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