Exercícios Resolvidos de Força hidrostática

Integral Definida, Substituição Trigonométrica

Um barril com seção reta elíptica está deitado no fundo de um poço cheio de água, com 10 m de profundidade. Ache a força hidrostática exercida sobre a tampa do barril. É dada a equação da elipse nos eixos da figura:

x 2 4 + y 2 = 1

Passo 1

Primeiro passo é entender o que está acontecendo no problema. Um esboço do problema é esse:

E nessa figura vemos uma projeção do barril no fundo do poço. O que sabemos inicialmente é que cada mini faixa azul do barril sofre ação de uma força hidrostática diferente das demais mini faixas, pois elas são de tamanhos diferentes. Então vamos escrever a força que age sobre cada faixinha de área d A e que está a uma profundidade h em relação ao nível da água.

d F = ρ g h   d A

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Passo 2

Agora vamos identificar quanto vale a profundidade h em termos de y . E sabemos que, como o poço tem 10 metros e de acordo com o esboço que fizemos o nível da água está em y = 9 , então a profundidade h = 9 - y .

Passo 3

Considerando cada minifaixa azul do barril, conseguimos escrever a área de cada minifaixa como d A = 2 x   d y . E os valores de x e y estão relacionados pela equação da elipse dada no problema. Por ela, sabemos que:

x = 2 1 - y 2

Passo 4

E voltando agora pra expressão da força hidrostática, vamos ter:

d F = ρ g 9 - y 4 1 - y 2 d y

Integrando a expressão em ambos os lados:

∫ d F = F = ∫ - 1 1 4 ρ g 9 - y 1 - y 2 d y

F = 36 ρ g ∫ - 1 1 1 - y 2 d y - 4 ρ g ∫ - 1 1 y 1 - y 2 d y

Passo 5

Devemos calcular então:

∫ 1 - y 2 d y

Fazendo a substituição y = sen ⁡ θ , teremos que: d y = cos ⁡ θ d θ . E voltando na integral:

∫ 1 - y 2 d y = ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Pra resolver essa integral, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que diz que:

cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ - 1 2

E então vamos calcular:

∫ cos ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = sen ⁡ 2 θ 4 - θ 2 + C = sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 - θ 2 + C

E como y = sen ⁡ θ , voltando pra variável y , temos que:

∫ 1 - y 2 d y = y 1 - y 2 - arcsen ⁡ y 2 + C

Avaliando nos extremos do problema:

∫ 1 - y 2 d y = - arcsen ⁡ 1 - ( - arcsen ⁡ - 1 ) 2 = - π 4 + 3 π 4 = π 2

Passo 6

E agora devemos calcular a outra integral:

∫ y 1 - y 2 d y

Fazendo a substituição u = 1 - y 2 , teremos d u - 2 y = d y e então reescreveremos a integral assim:

∫ y u d u - 2 y = - 1 2 ∫ u   d u = - 1 2 2 3 u 3 2 + C = - 1 3 1 - y 2 3 2 + C

Avaliando nos extremos do problema:

∫ y 1 - y 2 d y = - 1 3 1 - 1 2 3 2 - - 1 3 1 - - 1 2 3 2

∫ y 1 - y 2 d y = 0

Passo 7

E agora finalmente voltando lá na expressão da força hidrostática, teremos:

F = 36 ρ g π 2 - 0 = 18 ρ g π

Resposta

F = 18 ρ g π

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