Exercícios Resolvidos de Força hidrostática

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Enunciado

Uma vala é preenchida com um líquido de densidade ρ   k g / m 3 . As extremidades da vala são triângulos equiláteros com lados de l metros de comprimento e o vértice no fundo. Calcule a força hidrostática em uma extremidade da vala.

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o problema! O que o enunciado disse pra gente pode ser esboçado mais ou menos assim:

Nessa figura, olhamos a extremidade da vala que é um triângulo equilátero de lado l . Se o enunciado pediu a força hidrostática nessa extremidade, vamos escrever a fórmula que nos dá a força hidrostática que age numa faixinha infinitesimal de comprimento d y , como mostra a figura:

d F = ρ g y   d A

Passo 2

Agora olhando pra faixinha, podemos escrever uma expressão pra área de cada faixinha:

d A = x   d y

Pois cada faixinha é um retângulo de comprimento x e altura d y .

Passo 3

Olhando agora pra extremidade da vala, que tem a forma triangular, podemos achar uma relação entre x e y . Ou seja, vamos achar uma relação entre o x (medida horizontal da faixinha) que aparece no cálculo da área da faixinha e a profundidade y (medida vertical da faixinha). Fazendo uma semelhança de triângulos, podemos dizer que:

x l = h v a l a - y h v a l a

Só que como a vala é um triângulo equilátero, a profundidade da vala é a altura do triângulo que é dada por:

h v a l a = l 3 2

E então a relação que encontramos é:

x l = l 3 2 - y l 3 2       →         x = 2 3 3 2 l - y

Passo 4

Voltando na expressão da área da faixinha e substituindo a relação encontrada:

d A = 2 3 3 2 l - y d y

E agora vamos substituir essa última expressão na fórmula da força hidrostática:

d F = ρ g y 2 3 3 2 l - y d y

E essa expressão nos dá a força hidrostática em uma faixnha da extremidade da vala. Então se somarmos todos esses d F s de todas as faixinhas, vamos obter a força que age na extremidade da vala. Então somando na direção y , de 0 até l 3 2 :

F = ∫ 0 l 3 2 ρ g y 2 3 3 2 l - y d y

Passo 5

A integral acima é equivalente a:

ρ g ∫ 0 l 3 2 y l   d y - ∫ 0 l 3 2 y 2 2 3 d y = ρ g l y 2 2 0 l 3 2 - ρ g 2 y 3 3 3 0 l 3 2 = ρ g 3 l 3 8 - l 3 2 3

Resposta

F = ρ g l 3 3 3 - 4 8 3

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