Exercícios Resolvidos de Forma Canônica de Jordan

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Enunciado

Q2-) Encontre todas as funções reais diferenciáveis x = x(t), y = y(t) e z(t)que satisfaçam o sistema

dx/dt = −x − y − z

dy/dt = 8x − y + 4z

dz/dt = 2x + 5y + 2z

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos descobrir funções.

O enunciado nos pede para encontrarmos as funções x t , y ( t ) , z ( t ) que satisfaçam o sistema:

  d x d t = - x - y - z d y d t = 8 x - y + 4 z d z d t = 2 x + 5 y + 2 z  

Vamos começar simplificando este sistema, multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a última. E colocando o 4 em evidencia na segunda equação

  d ( 2 x + z ) d t = 3 y d y d t = 4 ( 2 x + z ) - y d z d t = 2 x + 5 y + 2 z

E agora definindo uma nova variável “ w ” como w = 2 x + z teremos que:

  d w d t = 3 y d y d t = - y + 4 w

Agora temos um sistema mais simples para trabalhar.

Passo 2

Vamos definir o vetor com as variáveis:

X → = w y

E sabemos que:

X ' → = 3 y - y + 4 w

Então:

X → ' t = M X → ( t )

Sendo M a matriz dos coeficientes do nosso sistema linear:

M = 3 0 - 1 4  

Vamos supor que a solução desta EDO é:

X ( t ) = V → e a t

Assim teremos que:

X ' t = a V → e a t

Substituindo estes valores na EDO:

a V → e a t = M V → e a t

Simplificando por e a t :

a V → = M V →

Assim descobrimos que V é um autovetor de M e a é o seu autovalor associado.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de M:

det ⁡ M - I λ = 0

3 - λ 0 - 1 4 - λ = 0

3 - λ 4 - λ = 0

λ 1 = 3 , λ 2 = 4

E os autovetores serão:

M X → = λ X →

Para λ = 3 :

3 0 - 1 4 y w = 3 y 3 w

Assim montamos o sistema linear:

3 y = 3 y - y + 4 w = 3 w → y = α w = α

Logo o autovetor associado ao autovalor 3 será:

1 1

Passo 4

Para λ = 4 :

3 0 - 1 4 y w = 4 y 4 w

Assim montamos o sistema linear:

3 y = 4 y - y + 4 w = 4 w → y = 0 w = α

Logo o autovetor associado ao autovalor 3 será:

0 1

Passo 5

Substituindo os valores na solução que encontramos para a EDO:

X → = V e a t

Assim para a = λ 1 :

X → = 1 1 e 3 t = e 3 t e 3 t = ( )

w ( t ) y t = e 3 t e 3 t

Lembrando que w = 2 x + z :

2 x ( t ) + z ( t ) y t = e 3 t e 3 t

Passo 6

E para a = λ 2 :

X → = 0 1 e 4 t = 0 e 4 t

w ( t ) y t = 0 e 4 t

Substituindo w :

2 x ( t ) + z ( t ) y t = 0 e 4 t

Passo 7

Assim encontramos a forma genérica de y:

y t = a 1 e 3 t + a 2 e 4 t , ∀   a 1 , a 2 ∈ R

Como 2 x t + z t = a 1 e 3 t , ∀   a 1 ∈ R , teremos:

z = a 1 e 3 t - 2 x

E utilizando equação dada inicialmente, vamos fazer um novo sistema:

x ' = - x - y - z

Substituindo os valores de y e de z:

x ' = - x - ( a 1 e 3 t + a 2 e 4 t ) - ( a 1 e 3 t - 2 x )

x ' = x - 2 a 1 e 3 t - a 2 e 4 t

Resolvendo essa EDO de primeira ordem:

x t = - a 1 e 3 t - a 2 3 e 4 t + a 3 e t     ,       ∀   a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

Substituindo x ( t ) na expressão do z ( t ) :

z = a 1 e 3 t - 2 - a 1 e 3 t - a 2 3 e 4 t + a 3 e t

z = a 1 e 3 t + 2 a 1 e 3 t + 2 a 2 3 e 4 t - 2 a 3 e t

z ( t ) = 3 a 1 e 3 t + 2 a 2 3 e 4 t - 2 a 3 e t   ,       ∀   a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

Resposta

S o l = x t = - a 1 e 3 t - a 2 3 e 4 t + a 3 e t y t = a 1 e 3 t + a 2 e 4 t z t = 3 a 1 e 3 t + 2 a 2 3 e 4 t - 2 a 3 e t ,       ∀   a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

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