Exercícios Resolvidos de Forma Canônica de Jordan

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Enunciado

12. Seja T : R 3 → R 3 o operador linear tal que T c a n = A , em que c a n denota a base canônica de R 3 e:

A = 4 - 2 3 1 1 3 2 2 1

Sabe-se que

K e r T - 5 I = 1,1 , 1 ,   K e r T - 3 I = - 1,4 , 3   e   K e r ( T + 2 I ) = 3,3 , - 4

em que I denota o operador identidade de R 3 . Se X t = x t , y t , y t denota a solução do sistema de equações diferenciais X ' t = A X t satisfazendo a condição X 0 = - 1,4 , - 4 , então x t + y t + z t é igual a:

(a) 3 e 5 t + 2 e 3 t - 6 e - 2 t ;

(b) 9 e 5 t - 6 e 3 t - 4 e - 2 t ;

(c) - 9 e 5 t + 6 e 3 t + 2 e - 2 t ;

(d) - 3 e 5 t + 5 e 3 t - 3 e - 2 t ;

(e) - 9 e 5 t + e 3 t + 7 e - 2 t .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos que obter o valor de x t + y t + z t dado que X t = x t , y t , y t e X t é a solução para a equação diferencial X ' t = A X t .

Se A é dada pela matriz

A = 4 - 2 3 1 1 3 2 2 1

E T c a n = A , então dados os núcleos K e r T - 5 I = 1,1 , 1 , K e r T - 3 I = - 1,4 , 3 e K e r ( T + 2 I ) = 3,3 , - 4 .

Como podemos obter essa soma? 🤔

Analisando a equação diferencial, vemos que a solução de uma equação do tipo y ' = a y é dada por

y = e a t

No nosso caso, temos que aplicar essa solução para x t , y t e z t .

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 2

Se T = A , a primeira coisa que temos que fazer é obter os autovalores de T , ou seja

d e t 4 - λ - 2 3 1 1 - λ 3 2 2 1 - λ = 0

- λ 3 + 6 λ 2 + λ - 30 = 0

Encontrando as raízes desse polinômio, temos

λ 1 = 5 ,     λ 2 = 3 ,     λ 3 = - 2

Com isso, vemos que o núcleo de T - λ I nos dá os autovetores associados ao autovalor, como a questão foi boazinha, ela já nos deu esses valores em (para λ 1 ) K e r T - 5 I = 1,1 , 1 , (para λ 2 ) K e r T - 3 I = - 1,4 , 3 e (para λ 3 ) K e r ( T + 2 I ) = 3,3 , - 4

Com isso em mente, a solução geral do sistema será dada baseado na solução de y = e a t , ou seja

X t = c 1 e λ 1 t v 1 + c 2 e λ 2 t v 2 + c 3 e λ 3 t v 3

X t = c 1 e 5 t 1,1 , 1 + c 2 e 3 t - 1,4 , 3 + c 3 e - 2 t 3,3 , - 4

X t = c 1 e 5 t - c 2 e 3 t + 3 c 3 e - 2 t c 1 e 5 t + 4 c 2 e 3 t + 3 c 3 e - 2 t c 1 e 5 t + 3 c 2 e 3 t - 4 c 3 e - 2 t

Por fim, vamos usar a informação de X 0 que nos deram.

Foi dito que X 0 = - 1,4 , - 4

Logo

c 1 e 5 0 - c 2 e 3 0 + 3 c 3 e - 2 0 c 1 e 5 0 + 4 c 2 e 3 0 + 3 c 3 e - 2 0 c 1 e 5 0 + 3 c 2 e 3 0 - 4 c 3 e - 2 0 = - 1 4 - 4

c 1 - c 2 3 c 3 c 1 4 c 2 3 c 3 c 1 3 c 2 - 4 c 3 = - 1 4 - 4

Resolvendo esse sistema, temos

c 1 = - 3 c 2 = 1 c 3 = 1

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Substituindo em X t ...

X t = - 3 e 5 t - e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 4 e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 3 e 3 t - 4 e - 2 t

Como X t = x t , y t , y t , então

- 3 e 5 t - e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 4 e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 3 e 3 t - 4 e - 2 t = x t y t z t

x t = - 3 e 5 t - e 3 t + 3 e - 2 t y t = - 3 e 5 t + 4 e 3 t + 3 e - 2 t z t = - 3 e 5 t + 3 e 3 t - 4 e - 2 t

E finalmente somando x t , y t e z t ...

- 3 e 5 t - e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 4 e 3 t + 3 e - 2 t - 3 e 5 t + 3 e 3 t - 4 e - 2 t

- 9 e 5 t + 6 e 3 t + 2 e - 2 t

Então a resposta é a letra c)!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(c) - 9 e 5 t + 6 e 3 t + 2 e - 2 t

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