Exercícios Resolvidos de Forma Canônica de Jordan

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = ( 2 x + y + z ,   2 x + y - 2 z , - x - 2 z ) . Então,

A = T c =   2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2

onde c é a base canônica de R 3 . Encontre o polinômio mínimo desta matriz.

Passo 1

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a λ = det ⁡ A - λ I

Ou seja,

p a λ = d e t 2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo a subtração das matrizes, temos

p a λ = d e t λ - 2 - 1 - 1 - 2 λ - 1 2 1 0 λ + 2 = ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Passo 2

Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

λ + 1 ( λ - 3 ) ou ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

Vamos então verificar primeiro se λ + 1 λ - 3 é o polinômio mínimo.

A + I A - 3 I = 3 1 1 2 2 - 2 - 1 0 - 1 - 1 1 1 2 - 2 - 2 - 1 0 - 5 = - 2

Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, λ + 1 λ - 3 não é o polinômio mínimo.

Portanto, o polinômio mínimo de A é

m A A = λ + 1 2 λ - 3 =   p a λ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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