Exercícios Resolvidos de Forma Canônica de Jordan

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Enunciado

Seja

A =   2 1 1 - 2 - 1 - 2 1 1 2

Encontre o polinômio mínimo desta matriz.

Passo 1

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a λ = det ⁡ A - λ I

Ou seja,

p a λ = d e t 2 1 1 - 2 - 1 - 2 1 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo a subtração das matrizes, temos

p a λ = d e t λ - 2 - 1 - 1 2 λ + 1 2 - 1 0 λ - 2 = ( λ - 1 ) 3

Passo 2

Agora que já encontramos os polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

λ - 1 , ( λ - 1 ) 2 ou ( λ - 1 ) 3

Então só falta verificar quais dessas três possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

Vamos então verificar primeiro se λ - 1 é o polinômio mínimo.

A - I = 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1

Então a matriz não é nula. Logo, λ - 1 não é polinômio mínimo.

Agora, vamos verificar se ( λ - 1 ) 2 é o polinômio mínimo.

A - I = 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0  

Portanto, ( λ - 1 ) 2   é o polinômio mínimo de A .

m A A = ( λ - 1 ) 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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