Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

Lista 4 – Professora Angela – UFRJ – Questão 1

Dada a tabela da população de uma vila no início de cada ano, estimar a população em setembro de 1972, usando o polinômio de Lagrange de grau 2 .

Passo 1

Vamos encontrar uma função de interpolação através do método de lagrange. Para isso vamos relacionar a população como (y) e o ano com (x). Ele quer um polinômio de Lagrange de grau 2 , então precisamos de 3 pontos. Os anos mais próximos de setembro de 1972 são:

x 0 = 1972

x 1 = 1973

x 2 = 1974

E temos:

y 0 = 6600

y 1 = 7200

y 2 = 8000

Nosso p 2 x será da forma:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2

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Passo 2

Calculando os polinômios L k :

L k x = x - x 0 x - x 1 … x - x k - 1 x - x k + 1 … x - x n x k - x 0 x k - x 1 … x k - x k - 1 x k - x k + 1 … x k - x n

Primeiro o L 0 , como

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2 = x - 1973 x - 1974 1972 - 1973 1972 - 1974 = x 2 - 3947 x + 3894702 2

Agora para os outros polinômios:

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1972 x - 1974 1973 - 1972 1973 - 1974 = - x 2 + 3946 x - 3892728

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1972 x - 1973 1974 - 1972 1974 - 1973 = x 2 - 3945 x + 3890756 2

Passo 3

Jogando tudo na fórmula:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2

p 2 x = 6600 x 2 - 3947 x + 3894702 2 + 7200 - x 2 + 3946 x - 3892728 + 8000 x 2 - 3945 x + 3890756 2

p 2 x = 100 x 2 - 393900 x + 387899000

Agora tem que tomar cuidado com uma coisa. Nós usamos a população do começo de cada ano para fazer essa aproximação. Mas ele pede a população em setembro de 1972! Então como fazemos isso? Bom, o ano tem 12 meses (que seria 100%) então cada mês corresponde a 100 % 12 = 8,3333 % do ano. Setembro é o 9° mês do ano que corresponde a 8,3333 % × 9 = 75 %   no ano. Se considerarmos o mês como sendo uma parte decimal do ano teremos que do inicio do ano até setembro de 1972 equivale ao ano 1972 + 0,75 = 1972,75 . Substituindo esse valor na nossa função de interpolação:

p 2 1972.75 = 7031.25

Logo, temos aproximadamente 7031 pessoas nessa vila em setembro de 1972.

Resposta

A população desta vila em setembro de 1972 é de aproximadamente 7031 pessoas.

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