Sabendo-se que f 0.81 = 16.94410 , f 0.83 = 17.56492 , f 0.86 = 18.50515 e f 0.87 = 18.82091 , calcule um valor aproximado de f 0.84 , usando polinômio interpolador de Lagrange de grau n ≤ 1,2 Passo 1 Grau 1: Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos: x 0 = 0.83 x 1 = 0.86 Temos então que: p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 , onde: y 0 = f 0.83 = 17.56492 y 1 = f 0.86 = 18.50515 L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 0.86 - x 0.03 = 86 - 100 x 3 L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 0.83 0.03 = 100 x - 83 3 Logo, p 1 x = 31.341 x - 8.44811 Substituindo 0.84 no polinômio: p 1 0.84 = 17.8783 Passo 2 Grau 2: Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos: x 0 = 0.81 x 1 = 0.83 x 2 = 0.86 Temos então que: p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 , onde: y 0 = f x 0 = 16.94410 y 1 = f x 1 = 17.56492 y 2 = f x 2 = 18.50515 L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2 = x - 0.83 x - 0.86 0.81 - 0.83 0.81 - 0.86 = 1000 x 2 - 1690 x + 713.8 L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 0.81 x - 0.86 0.83 - 0.81 0.83 - 0.86 = - 1666.66 667 x 2 + 2783.3 333 3 x - 1161 L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 0.81 x - 0.83 0.86 - 0.81 0.86 - 0.83 = 666.6 66 67 x 2 - 1093.3 333 3 x + 448.2 Logo, p 2 x = 6 x 2 + 21.20 1 x - 4.16531 Substituindo 0.84 no polinômio: p 2 0.84 = 17.8771 Passo 3 Grau 3: Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 3 vamos usar os pontos: x 0 = 0.81 x 1 = 0.83 x 2 = 0.86 x 3 = 0.87 Temos então que: p 3 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 , onde: y 0 = f x 0 = 16.94410 y 1 = f x 1 = 17.56492 y 2 = f x 2 = 18.50515 y 3 = f x 3 = 18.82091 L 0 = x - x 1 x - x 2 x - x 3 x 0 - x 1 x 0 - x 2 x 0 - x 3 = x - 0.83 x - 0.86 x - 0.87 0.81 - 0.83 0.81 - 0.86 ( 0.81 - 0.87 ) = - x 3 + 2.56 x 2 - 2.1841 x + 0.6210 06 0.00006 L 1 = x - x 0 x - x 2 x - x 3 x 1 - x 0 x 1 - x 2 x 1 - x 3 = x - 0.81 x - 0.86 x - 0.87 0.83 - 0.81 0.83 - 0.86 0.83 - 0.87 = x 3 - 2.54 x 2 + 2.1495 x - 0.60604 2 0.000024 L 2 = x - x 0 x - x 1 x - x 3 x 2 - x 0 x 2 - x 1 x 2 - x 3 = x - 0.81 x - 0.83 x - 0.87 0.86 - 0.81 0.86 - 0.83 0.86 - 0.87 = - x 3 + 2.51 x 2 - 2.0991 x + 0.5849 01 0.000015 L 3 = x - x 0 x - x 1 x - x 2 x 3 - x 0 x 3 - x 1 x 3 - x 2 = x - 0.81 x - 0.83 x - 0.8 6 0.8 7 - 0.81 0.8 7 - 0.83 0.8 7 - 0.8 6 = x 3 - 2.5 x 2 + 2.0827 x - 0.5781 78 0.000024 Logo, p 3 x = - 2.08333 x 3 + 11.2083 x 2 + 16.862 x - 2.96077 Substituindo 0.84 no polinômio: p 3 0.84 = 17 . 8771 Resposta p 1 0.84 = 17.8783 p 2 0.84 = 17.8771 p 3 0.84 = 17 . 8771 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Forma de LagrangeVer TeoriaExercício 213456789Carregar mais exercícios (9) Exercícios de Livros Relacionados13. Sendo p n x = ∑ k = 0 n L k x f ( x k ) o polinômio que interpola f ( x ) em x 0 , x 1 , … . , x n na forma de Lagrange mostre que... ∑ k = 0 n L k ( x ) = 1 ,∀ x (Sugestão: Interpole a função f xA integral elíptica completa é definida por: K k = ∫ 0 π 2 d x 1 - k 2 sin 2 x 1 2 Por uma tabela de valores dessa integral encontramos:K 1 =1.5708 ;K 2 = 1.5719 ;K 3 = 1.5739 Determinar K ( 2.5 ) ,Construir os polinômios de interpolação, na forma de Lagrange, para a função y = sin π x , escolhendo os pontos: x 0 = 0;x 1 = 1 6;x 2 = 1 2.Dar uma outra prova de unicidade do polinômio de interpolação P n ( f ; x ) de uma função y= f ( x ) sobre o conjunto de pontos x 0 , x 1 , .. ., x n . D n ( x ) = P n ( f ; x ) - Q n ( f ; x ) .Conhecendo-se a tabela:calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando calculamos cos 1,05 usando polinômio de interpolação sobre 4 pontos.Ver TambémVer tudo sobre Cálculo NuméricoVer tudo sobre InterpolaçãoLista de exercícios de Forma de Lagrange