Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

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Enunciado

O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elática. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. E I constante.

Passo 1

Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade, para depois aplicarmos a equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios. Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas w ( x ) e integrar duas vezes para achar o momento fletor.

V x = - ∫ w x   d x

M x = ∫ V x   d x

Passo 2

Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Agora vamos ser bem malandrinhos e aplicar primeiro o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

200 × 0,5 - B y × 1 + 300 × 1,5 = 0

B y = 550   N

E portanto,

∑ F y = 0

A y - 200 + 550 - 300 = 0

A y = - 50   N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 50 x - 0 - 1 - 200 x - 0,5 - 1 + 550 x - 1 - 1 - 300 x - 1,5 - 1

Pessoal, aqui (e em qualquer outro exercício) não faz diferença colocar ou não a última força. Isso porque x nunca vai ser maior do que o último ponto, portanto se a última força estiver na extremidade ela não faz mais diferença no problema.

Passo 4

Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.

V x = - ∫ w x   d x

A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.

V x = - ∫ - 50 x - 0 - 1 - 200 x - 0,5 - 1 + 550 x - 1 - 1 - 300 x - 1,5 - 1   d x

Ficou bem grandinho né? haha

Mas é tranquilo, vem comigo!!

V x = - - 50 x - 0 0 - 200 x - 0,5 0 + 550 x - 1 0 - 300 x - 1,5 0

V x = 50 x - 0 0 + 200 x - 0,5 0 - 550 x - 1 0 + 300 x - 1,5 0

E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ 50 x - 0 0 + 200 x - 0,5 0 - 550 x - 1 0 + 300 x - 1,5 0   d x

M x = 50 x - 0 1 + 200 x - 0,5 1 - 550 x - 1 1 + 300 x - 1,5 1

Pronto! temos a nossa resposta do problema!

Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...

Passo 5

Como o problema pediu a linhas elástica então a gente deve aplicar a função do momento que encontramos na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Podemos escrever da seguinte forma:

E I . d 2 y d x 2 = M

Substituindo:

E I . d 2 y d x 2 = 50 x - 0 1 + 200 x - 0,5 1 - 550 x - 1 1 + 300 x - 1,5 1

Vamos integrar a primeira vez:

∫ E I . d 2 y d x 2   d x = ∫ 50 x - 0 1 + 200 x - 0,5 1 - 550 x - 1 1 + 300 x - 1,5 1   d x

E I . d y d x = 25 x - 0 2 + 100 x - 0,5 2 - 275 x - 1 2 + 150 x - 1,5 2 + C 1

Agora podemos integrar novamente:

∫ E I . d y d x   d x = ∫ 25 x - 0 2 + 100 x - 0,5 2 - 275 x - 1 2 + 150 x - 1,5 2 + C 1   d x

E I . y x = 25 3 x - 0 3 + 100 3 x - 0,5 3 - 275 3 x - 1 3 + 50 x - 1,5 3 + C 1 . x + C 2

E pronto, achamos a nossa equação da linha elástica mas ainda falta achar as constantes C 1 e C 2 .

Passo 6

Para achar as constantes a gente só precisa lembrar que os mancais impedem a deflexão, portanto tanto em x = 0 quanto x = 1   m nós vamos ter y = 0 . Sendo assim, podemos substituir:

Para x = 0 nós vamos ter:

E I . ( 0 ) = C 1 . ( 0 ) + C 2

C 2 = 0

Lembre-se que vários termos zeraram porque estamos falando de uma função de descontinuidade, logo os termos x - 0,5 e x - 1,5 vão zerar!

Para x = 1 nós vamos ter:

E I . ( 0 ) = 25 3 ( 1 - 0 ) 3 + 100 3 ( 1 - 0,5 ) 3 + C 1 . 1

C 1 = - 25 3 - 12,5 3 = - 37,5 3

Com isso a nossa equação da linha elástica fica da forma:

y x = 1 E I 25 3 x - 0 3 + 100 3 x - 0,5 3 - 275 3 x - 1 3 + 50 x - 1,5 3 + - 37,5 3 . x

Resposta

y x = 1 E I 25 3 x - 0 3 + 100 3 x - 0,5 3 - 275 3 x - 1 3 + 50 x - 1,5 3 + - 37,5 3 . x

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