Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

Ver Teoria

Enunciado

Utilizando as funções de descontinuidade e de singularidade encontre o momento fletor da seguinte viga:

Passo 1

Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade. A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios.

Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas w ( x ) e integrar duas vezes para achar o momento fletor.

V x = - ∫ w x   d x

M x = ∫ V x   d x

Passo 2

Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Como há apenas uma força em x vamos ter que:

A x = 0

Fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0

A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:

F = c a r g a × c o m p r i m e n t o

F = 50 × 4 = 200   k N

Substituindo na equação:

A y - 10 - F + B y = 0

A y - 10 - 200 + B y = 0

A y + B y = 210   k N

Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0

Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:

x - = 5 + 4 + 4 2 = 11   m

Voltando ao cálculo:

- 10 × 5 - 200 × 11 + B y × 13 = 0

B y = 173   k N

Substituindo na primeira equação vamos ter:

A y + B y = 210   k N

A y + 173 = 210   k N

A y = 37   k N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 37 x - 0 - 1 + 10 x - 5 - 1

obs: A força B y = 173   k N não aparece porque está na extremidade oposta, não precisamos considerar ela.

A carga uniforme é dada por:

w x = 50 x - 9 0

Somando os dois termos:

w x = - 37 x - 0 - 1 + 10 x - 5 - 1 + 50 x - 9 0

Passo 4

Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.

V x = - ∫ w x   d x

A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.

V x = - ∫ - 37 x - 0 - 1 + 10 x - 5 - 1 + 50 x - 9 0   d x

V x = - - 37 x - 0 0 + 10 x - 5 0 + 50 x - 9 1

V x = 37 x - 0 0 - 10 x - 5 0 - 50 x - 9 1

E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ 37 x - 0 0 - 10 x - 5 0 - 50 x - 9 1   d x

M x = 37 x - 0 1 - 10 x - 5 1 - 25 x - 9 2

Pronto! temos a nossa resposta do problema!

Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...

Passo 5

Galera, sei que já temos o resultado final. Mas imagina que o problema pede para calcularmos o momento fletor no ponto x = 6   m .

Nesse caso como x > 0 e x > 5 a gente considera esses valores normalmente (e troca por parêntesis só pra frisar que eles vão ser considerados. E elimina o o termo 25 x - 9 2 porque x < 9 . Vamos ficar com:

M x = 37 ( x - 0 ) 1 - 10 ( x - 5 ) 1

M 6 = 37 ( 6 - 0 ) 1 - 10 ( 6 - 5 ) 1

M 6 = 37 × 6 - 10 = 212   k N . m

Resposta

M x = 37 x - 0 1 - 10 x - 5 1 - 25 x - 9 2

Exercícios de Livros Relacionados

O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.
Detrmine a equação da curva da linha elástica para a viga. Especifique a inclinação e o deslocamento em A. EI é constante.