Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

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Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em x = 7   m e a inclinação em A . E I é constante.

Passo 1

Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:

d 2 y d x 2 = M E I

Vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função então e calcular a deflexão e a inclinação!!

Passo 2

Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0

A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:

F = c a r g a × c o m p r i m e n t o

F = 3 × 4 = 12   k N

Substituindo na equação:

A y - F - 50 + B y = 0

A y - 12 - 50 + B y = 0

A y + B y = 62   k N

Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0

Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:

Voltando ao cálculo:

- 12 × 2 - 50 × 7 + B y × 10 = 0

B y = 37,4   k N

Substituindo na primeira equação vamos ter:

A y + B y = 62   k N

A y + 37,4 = 62   k N

A y = 24,6   k N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 24,6 x - 0 - 1 + 50 x - 7 - 1

A carga uniforme seria dada por:

w x = 3 x - 0 0

Mas perceba que se tivéssemos esse formato estaríamos considerando que essa carga atuaria desde o ponto x = 0 até x = 10 e não é isso que acontece!

Existe, portanto, uma falha na aplicação das funções de descontinuidade que se demonstra quando a carga não chega até o final da viga. Mas podemos resolver isso com uma combinação de cargas. Veja o esquema abaixo:

Repara que até x = 4   m temos apenas a carga de 3   k N / m e depois temos uma carga de + 3   k N / m e uma de - 3 k N / m , assim, elas se anulam e voltamos a ter o carregamento que a questão pede. Portanto, a carga será dada por:

w x = 3 x - 0 0 - 3 x - 4 0

Somando os dois termos:

w x = - 24,6 x - 0 - 1 + 50 x - 7 - 1 + 3 x - 0 0 - 3 x - 4 0

Passo 4

Agora vamos comçar a integrar.

V x = - ∫ w x   d x

A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.

V x = - ∫ - 24,6 x - 0 - 1 + 50 x - 7 - 1 + 3 x - 0 0 - 3 x - 4 0 d x

V x = - - 24,6 x - 0 0 + 50 x - 7 0 + 3 x - 0 1 - 3 x - 4 1

V x = 24,6 x - 0 0 - 50 x - 7 0 - 3 x - 0 1 + 3 x - 4 1

E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ 24,6 x - 0 0 - 50 x - 7 0 - 3 x - 0 1 + 3 x - 4 1   d x

M x = 24,6 x - 0 1 - 50 x - 7 1 - 3 2 x - 0 2 + 3 2 x - 4 2

Temos o momento fletor, agora é só aplicar na equação da linha elástica

Passo 5

A equação da linha elástica ( y ) é:

d 2 y d x 2 = M E I

Então vamos integrar uma vez:

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ M E I   d x

d y d x = 1 E I ∫ M   d x

d y d x = 1 E I ∫ 24,6 x - 0 1 - 50 x - 7 1 - 3 2 x - 0 2 + 3 2 x - 4 2   d x

d y d x = 1 E I 12,3 x - 0 2 - 25 x - 7 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 4 3 + C 1

Integrando novamente:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I 12,3 x - 0 2 - 25 x - 7 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 4 3 + C 1   d x

y = 1 E I ∫ 12,3 x - 0 2 - 25 x - 7 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 4 3 + C 1   d x

y = 1 E I 4,1 x - 0 3 - 25 3 x - 7 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 4 4 + C 1 x + C 2

Pronto! Achamos a equação da linha elástica, mas não temos as constantes C 1 e C 2 . Para acha-las temos de utilizar as condições de contorno!

Passo 6

Como temos um pino de um lato e um rolete de outro então em ambos os lados (tanto para x = 0 quanto para x = 10   m ) vamos ter deflexão nula. Sendo assim vamos aplicar as duas condições à nossa equação:

  1. y = 0 em x = 0 .
  2. y = 1 E I 4,1 x - 0 3 - 25 3 x - 7 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 4 4 + C 1 x + C 2

    Antes da gente sair substituindo x = 0 em tudo a gente precisa excluir os termos que não fazem parte da nossa equação. Lembrem que é uma função de descontinuidade

    y = 1 E I 4,1 ( x - 0 ) 3 - 1 8 ( x - 0 ) 4 + C 1 x + C 2

    Pronto! Agora substituindo y = 0 e x = 0 :

    0 = 1 E I 4,1 ( 0 - 0 ) 3 - 1 8 ( 0 - 0 ) 4 + C 1 x + C 2

    C 2 = 0

  3. y = 0 em x = 10 .

y = 1 E I 4,1 x - 0 3 - 25 3 x - 7 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 4 4 + C 1 x

Como estamos na extremidade oposta não precisamos excluir ninguém.

y = 1 E I 4,1 ( x - 0 ) 3 - 25 3 ( x - 7 ) 3 - 1 8 ( x - 0 ) 4 + 1 8 ( x - 4 ) 4 + C 1 x

Substituindo y = 0 e x = 10

0 = 1 E I 4,1 ( 10 - 0 ) 3 - 25 3 ( 10 - 7 ) 3 - 1 8 ( 10 - 0 ) 4 + 1 8 ( 10 - 4 ) 4 + C 1 10

0 = 1 E I 4100 - 225 - 1250 + 162 + 10 C 1

C 1 = - 278,7

Então a nossa linha elástica é dada por:

y = 1 E I 4,1 x - 0 3 - 25 3 x - 7 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 4 4 - 278,7 x

Passo 7

Pessoal agora é só substituir x = 7 , lembrando que vamos eliminar alguns termos:

y = 1 E I 4,1 ( x - 0 ) 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 4 4 - 278,7 x

y = 1 E I 4,1 ( 7 - 0 ) 3 - 1 8 7 - 0 4 + 1 8 7 - 4 4 - 278,7 × 7

y = 1 E I 1406,3 - 300,125 + 10,125 - 1950,9

y = - 834,6 E I

Passo 8

Para a inclinação vamos ter que substituir em:

d y d x = 1 E I 12,3 x - 0 2 - 25 x - 7 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 4 3 + C 1

Lembrando que:

C 1 = - 278,7

d y d x = θ

θ = 1 E I 12,3 x - 0 2 - 25 x - 7 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 4 3 - 278,7

Substituindo x = 0

θ = 1 E I 12,3 ( x - 0 ) 2 - 1 2 x - 0 3 - 278,7

θ = - 278,7 E I

Resposta

y = - 834,6 E I

θ = - 278,7 E I

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