Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

Ver Teoria

Enunciado

Utilizando as funções de descontinuidade e de singularidade encontre o momento fletor da seguinte viga:

Passo 1

Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade. A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios.

Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas w ( x ) e integrar duas vezes para achar o momento fletor.

V x = - ∫ w x   d x

M x = ∫ V x   d x

Passo 2

Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Como há apenas uma força em x vamos ter que:

A x = 0

Fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0

A y - 5 - 2 - 5 + B y = 0

A y + B y = 12   k N

Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0

Voltando ao cálculo:

- 5 × 1 - 2 × 3 - 5 × 6 + 15 + B y × 10 = 0

B y = 2,6   k N

Substituindo na primeira equação vamos ter:

A y + B y = 12   k N

A y + 2,6 = 12   k N

A y = 9,4   k N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 9,4 x - 0 - 1 + 5 x - 1 - 1 + 2 x - 3 - 1 + 5 x - 6 - 1

Repare que a gente tem que considerar a primeira força de apoio mas não a última!

O momento puro aparece como:

w x = 15 x - 4 - 2

Somando os dois termos:

w x = - 9,4 x - 0 - 1 + 5 x - 1 - 1 + 2 x - 3 - 1 + 5 x - 6 - 1 + 15 x - 4 - 2

Passo 4

Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.

V x = - ∫ w x   d x

A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.

V x = - ∫ - 9,4 x - 0 - 1 + 5 x - 1 - 1 + 2 x - 3 - 1 + 5 x - 6 - 1 + 15 x - 4 - 2   d x

Ficou bem grandinho né? haha

Mas é tranquilo, vem comigo!!

V x = - - 9,4 x - 0 0 + 5 x - 1 0 + 2 x - 3 0 + 5 x - 6 0 + 15 x - 4 - 1

V x = 9,4 x - 0 0 - 5 x - 1 0 - 2 x - 3 0 - 5 x - 6 0 - 15 x - 4 - 1

E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ 9,4 x - 0 0 - 5 x - 1 0 - 2 x - 3 0 - 5 x - 6 0 - 15 x - 4 - 1   d x

M x = 9,4 x - 0 1 - 5 x - 1 1 - 2 x - 3 1 - 5 x - 6 1 - 15 x - 4 0

Pronto! temos a nossa resposta do problema!

Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...

Passo 5

Só por curiosidade vamos calcular qual seria o momento fletor em x = 3 .

Para fazer isso a gente elimina os termos - 5 x - 6 1 - 15 x - 4 0 porque x < 6 e x < 4 . Daí o que sobra a gente coloca em parêntesis simples, só pra mostrar que eles não vão ser zerados:

M x = 9,4 ( x - 0 ) 1 - 5 ( x - 1 ) 1 - 2 ( x - 3 ) 1

M 3 = 9,4 ( 3 - 0 ) 1 - 5 ( 3 - 1 ) 1 - 2 ( 3 - 3 ) 1

M 3 = ( 9,4 × 3 ) - ( 5 × 2 ) - ( 2 × 0 ) = 13,7   k N . m

Resposta

M x = 9,4 x - 0 1 - 5 x - 1 1 - 2 x - 3 1 - 5 x - 6 1 - 15 x - 4 0

Exercícios de Livros Relacionados

O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.
Detrmine a equação da curva da linha elástica para a viga. Especifique a inclinação e o deslocamento em A. EI é constante.