Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

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Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica.

Passo 1

Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:

d 2 y d x 2 = M E I

A gente pode escrever ainda uma equação da linha elástica diretamente com a carga:

d 4 y d x 4 = - w E I

Então nós vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função! Partiu?

Passo 2

Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0

Aqui vamos considerar um carregamento uniforme de 150   k N / m mais um triangular que começa com 150   k N / m e termina com 0 .

Assim, a força do carregamento uniforme será dada por:

F 1 = c a r g a × c o m p r i m e n t o

F 1 = 150 × 2 = 300   k N

A força do carregamento triangular vai ser igual a:

F 2 = c a r g a   m é d i a × c o m p r i m e n t o

F 2 = 150 + 0 2 × 3 = 225   k N

Substituindo na equação:

A y - F 1 - F 2 + B y = 0

A y - 300 - 225 + B y = 0

A y + B y = 525   k N

Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0

Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento e do triangular em dois terços da base (a partir da ponta).

No nosso caso fica assim:

Voltando ao cálculo:

300 × 1 - 225 × 1 + B y × 3 = 0

B y = 25   k N

Substituindo na primeira equação vamos ter:

A y + B y = 525   k N

A y + 25 = 525   k N

A y = 500   k N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 500 x - 2 - 1

Lembre-se que o último termo pode ser desprezado!

Para o carregamento distribuído vamos ter:

w x = 150 - 50 x - 2 1

Somando os dois termos:

w x = - 500 x - 2 - 1 + 150 - 50 x - 2 1

Passo 4

Agora que temos o carregamento é só aplicar a equação:

d 4 y d x 4 = - w E I

Vamos integrar pela primeira vez:

∫ d 4 y d x 4   d x = - ∫ w E I   d x

d 3 y d x 3 = - 1 E I ∫ - 500 x - 2 - 1 + 150 - 50 x - 2 1   d x

d 3 y d x 3 = - 1 E I - 500 x - 2 0 + 150 x - 25 x - 2 2

d 3 y d x 3 = 1 E I 500 x - 2 0 - 150 x + 25 x - 2 2

Agora fazendo a segunda derivada:

∫ d 3 y d x 3   d x = 1 E I ∫ 500 x - 2 0 - 150 x + 25 x - 2 2   d x

d 2 y d x 2 = 1 E I 500 x - 2 1 - 75 x 2 + 25 3 x - 2 3

A terceira derivada:

∫ d 2 y d x 2   d x = 1 E I ∫ 500 x - 2 1 - 75 x 2 + 25 3 x - 2 3   d x

d y d x = 1 E I 250 x - 2 2 - 25 x 3 + 25 12 x - 2 4 + C 1 x

A quarta derivada:

∫ d y d x   d x = 1 E I ∫ 250 x - 2 2 - 25 x 3 + 25 12 x - 2 4 + C 1 x   d x

y = 1 E I 250 3 x - 2 3 - 25 4 x 4 + 5 12 x - 2 5 + C 1 2 x 2 + C 2

Agora temos de achar os valores de C 1 e C 2 .

Galera, é importante lembrar que essas constantes só aparecem nas duas últimas integrações ok? As duas primeira integrações representam a força cortante e o momento fletor, por isso não é necessário colocar as constantes de integração!

Passo 5

Agora vamos substituir as condições de contorno, como é um pino e uma rótula vamos ter y = 0 em ambos. Começando pelo pino:

y = 1 E I 250 3 x - 2 3 - 25 4 x 4 + 5 12 x - 2 5 + C 1 2 x 2 + C 2

Como no pino x = 5 e y = 0   vamos ter:

0 = 1 E I 250 3 5 - 2 3 - 25 4 5 4 + 5 12 5 - 2 5 + C 1 2 5 2 + C 2

0 = 1 E I 2250 - 3906,25 + 101,25 + 12,5 C 1 + C 2

12,5 C 1 + C 2 = 1555

Agora para a rótula x = 2 e y = 0 :

y = 1 E I 250 3 x - 2 3 - 25 4 x 4 + 5 12 x - 2 5 + C 1 2 x 2 + C 2

0 = 1 E I 250 3 2 - 2 3 - 25 4 2 4 + 5 12 2 - 2 5 + C 1 2 2 2 + C 2

0 = 1 E I - 100 + 2 C 1 + C 2

2 C 1 + C 2 = 100

Resolvendo o sistema:

12,5 C 1 + C 2 = 1555

2 C 1 + C 2 = 100

10,5 C 1 = 1455

C 1 = 138,57

C 2 = - 177,14

Portanto a nossa equação da linha elástica vale:

y = 1 E I 250 3 x - 2 3 - 25 4 x 4 + 5 12 x - 2 5 + 69,285 x 2 - 177,14

Resposta

y = 1 E I 250 3 x - 2 3 - 25 4 x 4 + 5 12 x - 2 5 + 69,285 x 2 - 177,14

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