Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

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Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as equações da inclinação e da linha elástica. E I é constante.

Passo 1

Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:

d 2 y d x 2 = M E I

A gente pode escrever ainda uma equação da linha elástica diretamente com a carga:

d 4 y d x 4 = - w E I

Então nós vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função! Partiu?

Passo 2

Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Como só existe uma força no eixo x então vamos ter que:

A x = 0

Fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0

A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:

F = c a r g a × c o m p r i m e n t o

F = 3 × 5 = 15   k N

Substituindo na equação:

A y - F + B y = 0

A y - 15 + B y = 0

A y + B y = 15   k N

Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0

Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:

Voltando ao cálculo:

- 15 × 2,5 + B y × 5 - 15 = 0

B y = 10,5   k N

Substituindo na primeira equação vamos ter:

A y + B y = 15   k N

A y + 10,5 = 15   k N

A y = 4,5   k N

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

As forças aparecem como:

w x = - 4,5 x - 0 - 1 - 10,5 x - 5 - 1

O momento como:

w x = 15 x - 8 - 2

Mas aqui repare que quando x ≤ 8 então o carregamento é nulo. Sendo assim não faz muito diferença colocar esse termo. Resumindo, o último termo não precisa ser colocada na equação.

A carga uniforme seria dada por:

w x = 3 x - 0 0

Mas perceba que se tivéssemos esse formato estaríamos considerando que essa carga atuaria desde o ponto x = 0 até x = 8 e não é isso que acontece!

Existe, portanto, uma falha na aplicação das funções de descontinuidade que se demonstra quando a carga não chega até o final da viga. Mas podemos resolver isso com uma combinação de cargas. Veja o esquema abaixo:

Repara que até x = 5   m temos apenas a carga de 3   k N / m e depois temos uma carga de + 3   k N / m e uma de - 3 k N / m , assim, elas se anulam e voltamos a ter o carregamento que a questão pede. Portanto, a carga será dada por:

w x = 3 x - 0 0 - 3 x - 5 0

Somando os dois termos (da força e do carregamento uniforme):

w x = - 4,5 x - 0 - 1 - 10,5 x - 5 - 1 + 3 x - 0 0 - 3 x - 5 0

Passo 4

Agora que temos o carregamento é só aplicar a equação:

d 4 y d x 4 = - w E I

Vamos integrar pela primeira vez:

∫ d 4 y d x 4   d x = - ∫ w E I   d x

d 3 y d x 3 = - 1 E I ∫ - 4,5 x - 0 - 1 - 10,5 x - 5 - 1 + 3 x - 0 0 - 3 x - 5 0   d x

d 3 y d x 3 = - 1 E I - 4,5 x - 0 0 - 10,5 x - 5 0 + 3 x - 0 1 - 3 x - 5 1

d 3 y d x 3 = 1 E I 4,5 x - 0 0 + 10,5 x - 5 0 - 3 x - 0 1 + 3 x - 5 1

Agora fazendo a segunda derivada:

∫ d 3 y d x 3   d x = 1 E I ∫ 4,5 x - 0 0 + 10,5 x - 5 0 - 3 x - 0 1 + 3 x - 5 1   d x

d 2 y d x 2 = 1 E I 4,5 x - 0 1 + 10,5 x - 5 1 - 3 2 x - 0 2 + 3 2 x - 5 2

A terceira derivada:

∫ d 2 y d x 2   d x = 1 E I ∫ 4,5 x - 0 1 + 10,5 x - 5 1 - 3 2 x - 0 2 + 3 2 x - 5 2   d x

d y d x = 1 E I 4,5 2 x - 0 2 + 10,5 2 x - 5 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 5 3 + C 1

A quarta derivada:

∫ d y d x   d x = 1 E I ∫ 4,5 2 x - 0 2 + 10,5 2 x - 5 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 5 3 + C 1   d x

y = 1 E I 1,5 2 x - 0 3 + 3,5 2 x - 5 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 5 3 + C 1 x + C 2

Agora temos de achar os valores de C 1 e C 2 .

Galera, é importante lembrar que essas constantes só aparecem nas duas últimas integrações ok? As duas primeira integrações representam a força cortante e o momento fletor, por isso não é necessário colocar as constantes de integração!

Passo 5

Agora vamos substituir as condições de contorno, como é um pino e uma rótula vamos ter y = 0 em ambos. Começando pelo pino:

y = 1 E I 1,5 2 x - 0 3 + 3,5 2 x - 5 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 5 3 + C 1 x + C 2

Como no pino x = 0 e y = 0   vamos ter:

y = 1 E I 1,5 2 0 - 0 3 - 1 8 0 - 0 4 + C 1 0 + C 2

0 = C 2

Agora para a rótula x = 5 e y = 0 :

y = 1 E I 1,5 2 x - 0 3 + 3,5 2 x - 5 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 5 3 + C 1 x

0 = 1 E I 1,5 2 5 - 0 3 + 3,5 2 5 - 5 3 - 1 8 5 - 0 4 + 1 8 5 - 5 4 + 5 C 1

0 = 1 E I 93,75 - 78,125 + 5 C 1

C 1 = - 3,125

Portanto a nossa equação da linha elástica vale:

y = 1 E I 1,5 2 x - 0 3 + 3,5 2 x - 5 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 5 3 - 3,125 x

E da inclinação:

d y d x = 1 E I 4,5 2 x - 0 2 + 10,5 2 x - 5 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 5 3 - 3,125

Como:

θ = d y d x

θ = 1 E I 4,5 2 x - 0 2 + 10,5 2 x - 5 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 5 3 - 3,125

Resposta

y = 1 E I 1,5 2 x - 0 3 + 3,5 2 x - 5 3 - 1 8 x - 0 4 + 1 8 x - 5 3 - 3,125 x

θ = 1 E I 4,5 2 x - 0 2 + 10,5 2 x - 5 2 - 1 2 x - 0 3 + 1 2 x - 5 3 - 3,125

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