Exercícios Resolvidos de Função de descontinuidade

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Enunciado

Encontre a equação da linha elástica para a viga abaixo. Considere E I constante.

Passo 1

Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:

d 2 y d x 2 = M E I

Vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função então e calcular a deflexão e a inclinação. Para isso a gente precisa encontrar primeiro o momento fletor e, portanto, as reações. Vamos fazer isso tudo utilizando o conceito de função de descontinuidade que aprendemos =D

Passo 2

Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:

Como há apenas momentos na viga então vamos ter que:

R x = R y = 0

Aplicando o somatório dos momentos vamos ter:

∑ M = 0

M 0 + 15 + 30 = 0

M 0 = - 45   k N . m

Passo 3

Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de w ( x ) . Vamos olhar o desenho novamente:

Os momentos aparecem da seguinte forma, lembrando que aqui temos de considerar o sentido anti-horário positivo necessariamente:

w x = 45 x - 0 - 2 - 15 x - 3 - 2 - 30 x - 6 - 2

Passo 4

Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.

V x = - ∫ w x   d x

A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.

V x = - ∫ 45 x - 0 - 2 - 15 x - 3 - 2 - 30 x - 6 - 2   d x

Vamos lá!

V x = - 45 x - 0 - 1 - 15 x - 3 - 1 - 30 x - 6 - 1

V x = - 45 x - 0 - 1 + 15 x - 3 - 1 + 30 x - 6 - 1

E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ - 45 x - 0 - 1 + 15 x - 3 - 1 + 30 x - 6 - 1   d x

M x = - 45 x - 0 0 + 15 x - 3 0 + 30 x - 6 0

Pronto! temos a nossa resposta do problema! Perceba que todos os expoentes são iguais a zero, o que significa que nosso momento fletor varia em degrauzinhos. Isso faz total sentido com o nosso carregamento, que é formado por momentos puros.

Passo 5

Mas o problema pede a equação da linha elástica então nós vamos ter que aplicar a seguinte equação:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo:

E I . d 2 y d x 2 = - 45 x - 0 0 + 15 x - 3 0 + 30 x - 6 0

Integrando a primeira vez:

∫ E I . d 2 y d x 2   d x = ∫ - 45 x - 0 0 + 15 x - 3 0 + 30 x - 6 0   d x

E I . d y d x = - 45 x - 0 1 + 15 x - 3 1 + 30 x - 6 1 + C 1

Para descobrir o valor de C 1 a gente tem que lembrar que d y d x = θ , ou seja, essa nossa equação é da inclinação! Como o ponto x = 0 está engastado então vamos ter θ = 0 , assim:

E I . ( 0 ) = C 1

C 1 = 0

Repare aqui que muitos dos termos zeraram, não porque x = 0 , mas sim por causa da própria natureza da função de descontinuidade.

Agora vamos integrar pela segunda vez:

E I . d y d x = - 45 x - 0 1 + 15 x - 3 1 + 30 x - 6 1

∫ E I . d y d x   d x = ∫ - 45 x - 0 1 + 15 x - 3 1 + 30 x - 6 1   d x

E I . y x = - 45 2 x - 0 2 + 15 2 x - 3 2 + 30 2 x - 6 2 + C 2

Agora vamos aplicar o mesmo conceito para achar C 2 , como em x = 0 temos um engaste então a deflexão nesse ponto também é zero, logo:

E I . 0 = C 2

C 2 = 0

DICA: Para saber quando uma função de descontinuidade deve ser negligenciada, basta lembrar que o termo dentro dos parêntesis bonitinhos x - a nunca pode ser menor do que zero.

Então finalmente vamos ter a equação da linha elástica:

y x = 1 E I - 45 2 x - 0 2 + 15 2 x - 3 2 + 30 2 x - 6 2

Resposta

y x = 1 E I - 45 2 x - 0 2 + 15 2 x - 3 2 + 30 2 x - 6 2

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