Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva σ ( t ) em torno do eixo y .

σ t = cos ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Opa, fala aii! Vamos continuar nossos estudos de integrais de linha!!

Bom, a rotação de uma curva em relação ao eixo y , né?

O enunciado nos pede a área da superfície gerada, isso é exatamente o tipo de questão pra usarmos o teorema de pappus! Como já temos a nossa superfície parametrizada, vamos aplicar direto o teorema!

É válido a gente fazer o esboço do gráfico para saber se a área é igual a rotação completa da curva, lembra? No nosso exercício a curva é assim:

Girando isso daí no eixo y , temos uma superfície gerada que é essa aqui:

Percebe que precisamos dar a volta completa dessa curva para gerar a superfície, certo? Portanto usamos a fórmula do teorema de pappus normalmente:

Á r e a = 2 π ∫ C x d S

Usamos módulo de x porque a rotação é ao redor do eixo y , lembra?

Beleza, então precisamos tirar esse módulo de dentro da integral, calcular o valor de σ ' t e depois resolver a integral, vamos lá?

Passo 2

Vamos tirar o módulo da integral, primeiro, para isso precisamos analisar se x é positivo ou negativo no intervalo dado!

x t = cos ⁡ t

0 ≤ t < π 2

A função cos ⁡ t é sempre positiva nesse intervalo, certo? Então, para todo o intervalo:

x = x = cos ⁡ t

Passo 3

Precisamos calcular o valor de σ ' t , para isso, vamos derivar a parametrização da curva:

σ t = cos ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t

As derivadas são:

x ' t = - sen ⁡ t

y ' t = cos ⁡ t

Então σ ' t = - s e n   t , cos ⁡ t

Fazendo o módulo dessa belezinha, temos:

σ ' t = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Então temos que o nosso modulo é

σ ' t = 1

Passo 4

Voltando para a nossa integral que se torna:

Á r e a = 2 π ∫ C x d S = 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ t d t

Integrando isso daí, temos:

= 2 π sen ⁡ t t = 0 t = π 2

Substituindo os valores dos limites, ficamos com:

= 2 π sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 = 2 π

E foi mais uma! 😊

Resposta

2 π