Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Encontre a parametrização da curva C dada equação

4 x 2 + y 2 = 4

Respeitando a inequação x y ≥ 0

Passo 1

Vamos lá pessoal!

Essa curva aí é uma daquelas clássicas dada na teoria, lembra? Se não lembra, não tem problema, se liga aqui, quando falamos de elipse e circunferência geralmente temos essa fórmula aqui:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse nosso caso não está igual a 1 , né? Mas isso não é problema, é só dividir por 4 dos dois lados, fica assim

4 x 2 4 + y 2 4 = 4 4

E isso nos dá que

x 2 1 + y 2 4 = 1

Agora nossa curva ficou com a cara de uma elipse. O esboço é esse aqui:

Pra saber como desenhá-lo você olha a raiz quadrada do valor do denominador que está embaixo de cada variável. Então no nosso caso, quem está embaixo o x é o 1 , e 1 = ± 1 . Por isso ela corta o eixo x nesses valores.

O mesmo vai acontecer com y . Quem está embaixo dele é o 4 , e 4 = ± 2 . Assim, ela corta o eixo y , nesses pontos.

Passo 2

Pra parametrizar isso aí a gente usa a relação fundamental da trigonometria

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

O formato é parecido com a nossa curva. Se chamarmos:

cos 2 ⁡ t ⏟ x 2 + sen 2 ⁡ t ⏟ y 2 4 = 1

Temos que

x 2 = cos 2 ⁡ t

y 2 = 4 sen 2 ⁡ t

Tirando a raiz dos dois lados das equações encontramos:

x = cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Como se trata se senos e cossenos, temos que:

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Teoricamente essa seria a nossa resposta, só que a questão bota uma outra limitação ali, ela diz que

x y ≥ 0

Ué, mas o que isso quer dizer? Pensa o seguinte, nessa elipse completa os limites de x e y são

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

A gente consegue ver isso no nosso gráfico!!

Existem pontos em que o produto de   x por y não dá positivo (maior que zero). Poh, então como podemos garantir que x y de fato é positivo?

Bom, vamos ter que fazer um estudo de sinal aqui, pensa só, quando x é positivo e y é positivo, o produto também vai ser positivo! Agora, quando um é positivo e o outro negativo, o produto dá negativo. De forma geral é isso aqui

Então, para que x y ≥ 0 , precisamos que x e y sejam positivos ou que ambos sejam negativos. E quando isso acontece? O plano x y é dividido em quatro quadrantes, vamos analisar cada um deles separadamente aqui

No quadrante temos que 0 ≤ t ≤ π 2 , nessa região x e y são positivos, então o produto x y também é maior que zero

No 2º quadrante temos que π 2 ≤ t ≤ π , aqui x é negativo e y é positivo, então o produto x y é menor que zero

No quadrante temos que π ≤ t ≤ 3 π 2 , nessa região x e y são negativos, então o produto x y é maior que zero

No 4º quadrante temos que 3 π 2 ≤ t ≤ 2 π , nessa região x é positivo e y é negativo, então o produto x y é menor que zero

Portanto, somente no primeiro e no terceiro quadrante temos x y ≥ 0 , então os limites de t são

t = 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2

Resposta

x = cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

t = 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2