Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Calcule a integral de linha da função escalar f x , y = | x | ao longo da curva C parametrizada por

σ : 0 ,   π / 2 → R 2 ,   t → ( e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t )

Passo 1

Faaaaaaala aí! Vamos seguindo com o nosso estudo de integrais de linha,, uhul!

A integral de linha vai ser representada assim: ∫ C   x d s

Onde precisamos escrever tudo de maneira parametrizada.

Temos que a = 0 e b = π / 2 pelo próprio enunciado.

A parametrização da nossa curva nos dá x t = e t cos ⁡ t e y t = e t sen ⁡ t .

Então temos a nossa parametrização

σ → t = x t , y t

σ → t = ( e t cos ⁡ t , e t s e n   t )

Passo 2

Agora que a gente já tem tudo formulado, vamos começar calculando a derivada da nossa parametrização em relação a t , pois vamos precisar dela para colocar em d s . σ → ' = d e t cos ⁡ t d t , d e t sen ⁡ t d t

Passo 3

Para derivada de e t cos ⁡ t a gente vai fazer a regra do produto, lembrando que a regra do produto é dada desse jeitinho aqui:

f ( t ) ⋅ g ( t ) a ⋅ b = a ' ⋅ f ' ( t ) ⋅ g ( t ) b + f ( t ) b ' ⋅ g ' ( t ) a

Para essa nossa derivada temos

e t ⋅ cos ⁡ t ' = e t ' ⋅ cos ⁡ t + e t ⋅ cos ⁡ t ' ⋅ e t

E isso nos dá

e t cos ⁡ t ' = e t cos ⁡ t - e t s e n   t

Para derivada de e t s e n   t   vamos fazer a regra do produto de novo

e t s e n   t ' = e t ' ⋅ s e n   t + s e n   t ' ⋅ e t ⋅ s e n   t '

Ficamos com

e t s e n   t ' = e t s e n   t + e t cos ⁡ t

Passo 4

Então a derivada da nossa parametrizaçãoo que era

σ → ' = d e t cos ⁡ t d t , d e t sen ⁡ t d t

Fica σ → ' = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t , e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t

Colocando e t em evidência,Que podemos escrever como

σ → ' = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) , e t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 5

Agora, calculamos σ → ' , lembrando que o módulo é escrito desse jeitão aqui

  σ → ' = x 2 + y 2

Então pegando x ( t ) e y ( t ) da nossa derivada, temos

σ → ' = e 2 t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + e 2 t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

Podemos tirar o e 2 t da raiz, ficando com e t e vamos abrir esses produtinhos notáveis

= e t ( cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) + ( sen 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Cortando esses termos que destacamoso - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t com o 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , ficamos com:

e t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + s e n 2   t + cos 2 ⁡ t  

Como cos 2 ⁡ t   + s e n 2 t = 1 , temos

e t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ⏟ 1 + s e n 2   t + cos 2 ⁡ t ⏟ 1  

= e t 2

Passo 6

Podemos, então, substituir σ → ' na integral, escrevendo   | x | em função de t , ficamos com:

∫ 0 π 2 e t cos ⁡ t . e t 2 d t

Tirando a 2   da integral porque é uma constante multiplicando, temos que:

= 2 ∫ 0 π / 2 e 2 t cos ⁡ t d t =

Passo 7

Já temos tudo que precisávamos, agora vVamos resolver essa integral fazer uma integração por partes., Chamando

e 2 t = u → 2 e 2 t d v = d u

cos ⁡ t = d v → s e n t = v

E a formula da integração popr partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t - 2 ∫ e 2 t sen ⁡ t   d t

Ficamos com aquela última integral pra resolver, e será necessária outra substituição por partes. Chamando, agora,

e 2 t = u → 2 e 2 t d t = d u

sen ⁡ t = d v →   - cos ⁡ t = v

e a integral passa a ser:

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t - 2 - e 2 t cos ⁡ t + 2 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t

Multiplicando o - 2 e arrumando melhor, ficamos com:

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t - 4 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t

Perceba que estamos dando voltas. Então vamos passarPassando esse termo destacado a última integral para o outro lado, e teremos:temos

5 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t ( sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t )

Repara que essa integral é exatamente a que estávamos tentando calcular. Vamos deixar ela sozinha passa do o 5 dDividindo para o outro ladopor 5 , temos

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t ( sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t ) 5

Passo 8

Agora vamos voltar a nossa integral que era

= 2 ∫ 0 π / 2 e 2 t cos ⁡ t d t =

Substituindo o valor que encontramos, temos que

2 ∫ 0 π 2 e 2 t cos ⁡ t d t = 2 5   e 2 t sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t 0 π 2

Substituindo os limites de integração ficamos com

2 5   e 2 π 2 sen ⁡ π 2 + 2 cos ⁡ π 2 - 2 5   e 2 ∙ 0 sen ⁡ 0 + 2 cos ⁡ 0

= 2 5 e π 1 + 0 - 1 ( 0 + 2 ) =

Que nos dáa como resultado

2 5 e π - 2

Resposta

2 5 e π - 2