Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Calcule ∫ C   ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s , onde C é a hélice definida por σ t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Aqui temos uma integral de linha que é representada por

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Nesse caso ele já nos deu a parametrização:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Como já temos a parametrização, podemos passar direto para o cálculo de σ → '

Antes vamos obter as derivadas da parametrização:

d x d t = - sen ⁡ t ,       d y d t = cos ⁡ t ,       d z d t = 1 Então temos que

σ ' t = ( - s e n   t , cos ⁡ t ,   1 )

Agora, calculamos o módulo! Que é σ → ' :

σ → ' = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 1

Como - sen ⁡ t   2 é igual a sen ⁡ t 2

σ → ' = s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 1

E lembrando que s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

σ → ' = 1 + 1

= 2

Passo 3

Vamos obter agora a nossa função em termos de t

x 2 + y 2 + z 2

cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + t 2

1 + t 2

Então nossa integral fica:

∫ a b 1 + t 2 ⋅ 2 d t =

podemos colocar 2 para fora da integral, e teremos

2 ∫ 0 2 π 1 + t 2   d t

Passo 4

Integrando, termos:

= 2 t + t 3 3 0 2 π

Substituindo os limites de integração, ficamos com

2 2 π + 2 π 3 3 - 0 + 0 3 3

Isso nos dá

2 2 π + 8 π 3 3

Resposta

2 2 π + 8 π 3 3