Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Parametrize a curva C dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + 2 z = 3

Passo 1

Opa, vamos continuar com nossas questões de integral de linha!

Bom, galera, interseção de superfícies aqui, né? Vamos esboçar tudo aqui antes de mais nada pra visualizar melhor a questão

A curva é essa aqui

Para parametrizar isso vamos ter que analisar as equações das superfícies, temos

x 2 + y 2 = 1

x + y + 2 z = 3

Passo 2

Vamos analisar essa primeira equação do cilindro ali de cima, podemos parametrizar pela equação fundamental da trigonometria

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Vamos chamar

x 2 = cos 2 ⁡ t

y 2 = sen 2 ⁡ t

Então temos que

x t = cos ⁡ t

y t = sen ⁡ t

Como a gente tem uma volta completa, temos que

0 ≤ t ≤ 2 π

Tranquilinho, né? Foi porque escolhemos essa equação, que é uma daquelas clássicas, primeiro! Sempre comece pela equação que é fácil de ser parametrizada, beleza?

Passo 3

Vamos continuar aqui então. Já temos x e y parametrizados, certo? Show falta só z !

Conseguimos encontrar os parâmetros de z pela equação do plano!

x + y + 2 z = 3

Deixando z sozinho, temos

2 z = 3 - x - y

Passando o 2 que tá multiplicando, dividindo pro outro lado ficamos com

z = 3 - x - y 2

Substituindo os valores de x = cos ⁡ t e y = sen ⁡ t :

z = 3 - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2

E pronto!! Juntando tudo. Agora só pra organizar, nossa curva pode ser escrita de uma forma única como

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 3 - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2

0 ≤ t ≤ 2 π

Resposta

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 3 - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2

0 ≤ t ≤ 2 π