Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Parametrize a curva C , fronteira do triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 0,1 , orientada no sentido anti-horário.

Dica: Aqui é preciso parametrizar cada um dos lados do triângulo de forma independente, afinal, cada um deles é um segmento de uma reta diferente.

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos começar com nossos exercícios de integrais de linha!

Nesse exercício não vamos precisar resolver uma integral, vamos apenas parametrizar a curva pedida. E como já diz a nossa dica, vamos precisar descobrir a equação de cada uma das retas pra poder parametrizar a curva C inteira. Antes de mais nada, vamos esboçar esse triângulo

Beleza, precisamos então, para cada um dos lados do triângulo, encontrar o vetor direção e depois parametrizar o segmento de reta tomando cuidado com o sentido que escolhemos.

Tendo o vetor direção V → = ( a , b ) e sabendo o ponto inicial P 0 = x 0 , y 0 , sabemos que a parametrização do segmento vai ser

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

Depois escolhemos x ou y para determinar os limites de t , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar pela reta que se encontra no eixo y , vamos chamá-la de C 1 .

Ela é o segmento de reta que liga os pontos ( 0,1 ) e 0,0 , certo? Seu vetor direção é dado por

V → = B - A

V → = 0,0 - 0,1

V → = 0 , - 1

É importante lembrar que ( 0 , - 1 ) ≠ 0,1 , que seria o vetor no outro sentido, tome cuidado com isso!

Passo 3

Beleza, nessa reta aqui, já temos dois pontos A = 0,1 e B = ( 0,0 ) , podemos escolher qualquer um deles como P 0 , o que vai mudar vão ser os limites de t .

Aqui vou fazer os dois casos só pra você ver como fica, nas próximas retas vamos sempre escolher apenas um.

Para o ponto P 0 = A = 0,1 a parametrização fica

y t = 1 - t

x t = 0

Ué? x pode ser igual a zero?! Pode sim! O que isso quer dizer é que, para qualquer valor de t , a coordenada x da reta vai sempre ser zero. Se você olhar pro esboço dá pra perceber que isso é verdade.

E quais os limites de t nesse caso? Vamos ver isso por y , que vai de 1 a 0

Quando y = 1 , temos:

1 = 1 - t

t = 0

Quando y = 0 , temos:

0 = 1 - t

t = 1

0 ≤ t ≤ 1

E se escolhêssemos o outro ponto dessa reta pra fazer a parametrização? Olha só como fica!

A = 0,0

x t = 0

y t = - t

r 1 t = ( 0 , - t )

Sendo que y vai de 1 a 0 também, com isso

Quando y = 1 , temos:

1 = - t

t = - 1

Quando y = 0 , temos:

0 = - t

t = 0

- 1 ≤ t ≤ 0

r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

r 1 t = 0 , - t ∴ - 1 ≤ t ≤ 0

Ambas parametrizações estão corretas!

Passo 4

Vamos para o próximo seguimento de reta, chamaremos de C 2 que liga B a C .

Para encontramos o vetor direção é só fazer o ponto final menos o inicial, certo?

V → = C - B

V → = 1,0 - 0,0

V → = 1,0

Escolhendo o ponto P 0 = B = 0,0 para parametrizar essa reta ficamos com

x t = 0 + t =

x t = t

y t = 0

r 2 t = ( t , 0 )

De novo um termo é igual a zero e, de novo, isso não é problema! Veja que y realmente sempre é zero nessa reta, tranquilo? Vamos ver os limites de t agora.

Sabemos que x vai de 0 até 1 , portanto

x = 0   →   t = 0

x = 1   →   t = 1

0 ≤ t ≤ 1

r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Passo 5

Vamos para o último segmento de reta C 3 , aquele que liga C a A .

Novamente vamos encontrar o vetor direção pela diferença entre os pontos final e inicial

V → = A - C

V → = 0,1 - 1,0

V → = - 1,1

Escolhendo o ponto P 0 = C = 1,0 para parametrizar a reta, ficamos com

x t = 1 - t

y t = t

r 3 t = ( 1 - t , t )

Para determinar os limites de t , sabemos que y começa valendo zero no ponto C e termina valendo 1 no ponto A , portanto

y = 0 → t = 0

y = 1 → t = 1

0 ≤ t ≤ 1

Veja que, pela parametrização de x

t = 0 → x = 1 - 0 = 1

t = 1 → x = 1 - 1 = 0

Portanto, de fato essa parametrização leva 1,0 até 0,1 .

r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Passo 6

Ufa, conseguimos! Agora só juntando tudo pra ficar bonito, temos:

C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3

Onde

C 1 = r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 2 = r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Resposta

C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3

C 1 = r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 2 = r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1