Exercícios Resolvidos de Integrais de Linha

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Enunciado

Seja

F → x , y = x x 2 + y 2 5 i → + y x 2 + y 2 5 j →

E n → a normal unitária exterior ao círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Calcule ∫ γ F → ∙ n →   d t onde γ = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , 0 ≤ t ≤ π .

Passo 1

Oii! Vamos seguir nosso super estudo sobre integrais de linha para ficar fera no assunto!

O que a questão está pedindo é uma integral de linha:

∫ γ F → ∙ n →   d t

Onde n → é o vetor normal a curva.

Passo 2

Pra começar, vemos que γ é a paramentrização do círculo dado na questão (ou pelo menos parte dele, já que t só vai até π ). Já é um bom sinal!

Só falta verificar se o vetor normal a γ também é unitário.

Vamos lembrar que o vetor normal a curva pode ser obtido por:

n → γ = d y d t ,   - d x d t

d y d t = s e n   t ' = cos ⁡ t

- d x d t = - cos ⁡ t ' = - - s i n   t = s i n   t

Então, nosso vetor normal é

cos ⁡ t , sin ⁡ t

Vamos calcular o módulo dele, para saber se ele é unitário

Lembrando que o módulo é calculado assim

n → γ = x 2 + y 2

Como acabamos de achar x , y temos que:

n → γ = cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2

E isso é a nossa identidade fundamental trigonométrica, que é igual a 1

n → γ = 1

Logo ele é unitário, ou seja, n → γ é unitário também e, portanto, é igual ao vetor n → dado na questão.

Passo 3

Só pra deixar organizado, vamos escrever o campo em função da parametrização:

F → x t , y t = cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + + sin 2 ⁡ t 5   , sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + + sin 2 ⁡ t 5

Como cos 2 ⁡ t + + sin 2 ⁡ t = 1

F → x t , y t = cos ⁡ t 1 5   , sin ⁡ t 1 5

= cos ⁡ t , sin ⁡ t

Muito prático, nada muito complicado comparado ao que tinhamos antes, né? Hehe

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisamos, só precisamos jogar na integral:

∫ γ F → ∙ n →   d t = ∫ 0 π cos ⁡ t , sin ⁡ t ∙ cos ⁡ t , sin ⁡ t   d t

= ∫ 0 π cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t d t

Como já vimos, essa famosa soma dá 1 , então ficamos com

∫ 0 π d t

Tranquilinha essa integral, ela da

t │ 0 π = π

Resposta

π