Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Em um determinado shopping do Rio de Janeiro, queremos saber se os gastos médios de duas lojas com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos.

Tomou-se uma amostra de 17 clientes da loja “ A ” e de 18 clientes da loja “ B ”, obteve as seguintes estimativas:

Loja “ A ”: x ¯ A = r $ 1700,00 e s A = R $ 36,00

Loja “ B ”: x ¯ B = R $ 1730,00 e s B = R $ 29,00

Pede-se:

Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas ( μ B - μ A ) ao nível de significância de 99,5%. Pelo resultado, pode-se afirmas que os gastos médios das duas lojas podem ser considerados estatisticamente iguais?

Passo 1

No enunciado a gente tem os dados de média e variância de duas amostras e pedem pra gente fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias.

Bom a gente sabe que esse tipo de intervalo tem a seguinte cara:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

E que o valor de d é dado por:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Sendo que....

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Só precisamos calcular tudo isso agora!

Passo 2

Vamos começar calculando α e t 1 - α 2   .

Ele quer um intervalo de 99,5 %   de confiança.

1 - α = 0,995

α = 0,005

Com isso:

t 1 - α 2 = t 0,9975

Graus de liberdade       → 17 + 18 - 2 = 33

Procurando na tabela de t   d e   s t u d e n t dá no mesmo que pegar o valor referente na tabela da normal, já que o número de graus de liberdade é maior que 30 .

z 0,9975 = 2,81

Passo 3

Calcular s c .

m = 18       e       n = 17

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

s c = 17 × 29 ² + 16 × 36 ² 33

s c = 1061,6

Passo 4

Calcular o d .

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 2,81 × 1061,6 1 17 + 1 18

d = 2,81 × 11,01

d = 30,96

Passo 5

Completar o intervalo:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 1730 - 1700 ± 30,96

I C = ( - 0,96 ; 60,96 )

Não se pode afirmar que a média é estatisticamente maior já que o zero está contido no intervalo de confiança. Isso significa, por exemplo, que a diferença das médias pode ser zero, ou seja, que elas podem ser iguais.

Resposta

I C = ( - 0,96 ; 60,96 )

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