Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Uma máquina A produz peças circulares cujos diâmetros D i devem obedecer a uma determinada especificação em m m , e uma outra máquina B foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são semelhantes, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente iguais em termos dos diâmetros delas.

Tomou-se uma amostra de 13 peças da máquina A e 15 peças da máquina B, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

Máquina A: X - A = 97   m m e S A = 10   m m ;

Máquina B: X - B = 94   m m e S B = 8   m m ;

a) Teste a hipótese se existe diferença entre a média dos diâmetros da máquina A ( μ A ) para a média dos diâmetros da máquina B ( μ B ), ao nível de significância de 10 % .

b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de 10 % se existe diferença entre a variância dos gastos da máquina A ( μ A ) para a variância dos gastos da máquina B ( μ B ).

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais uma questão de PROBEST!!! É a última lista que tá faltando a gente resolver!

Nesse problema ele forneceu para gente as médias e desvios-padrão amostrais de peças produzidas por duas máquinas A e B. Para a máquina A com n A = 13 , obtivemos X - A = 97   m m e S A = 10   m m . Já para a máquina B com n B = 15 , achamos X - B = 94   m m e S B = 8   m m .

a) Nesse primeiro item, queremos saber se as duas médias são compatíveis entre si, dentro de uma significância de 10 % . Para comparar duas médias, usamos o teste T para a variável:

T = X - A - X - B - μ A - μ B S A 2 n A + S B 2 n B   ~   t ν

A variável T segue uma distribuição de Student para:

ν = S A 2 n A + S B 2 n B 2 S A 2 n A 2 n A - 1 + S B 2 n B 2 n B - 1

Eu sei que essas fórmulas são feias, mas é só usar elas direitinho e com calma que não vamos ter problema!

Passo 2

No fundo, o que queremos é fazer um teste de hipótese. Vamos estabelecer as hipóteses:

H 0 :       μ A = μ B H a :       μ A ≠ μ B

Se as médias forem compatíveis, a hipótese H 0 será aceita. Note também que se trata de um teste bilateral, como mostrado a seguir:

Assim, queremos a probabilidade de que a região central corresponda a 1 - α = 0,90 e a porcentagem da região externa seja α = 0,10 = 10 % . Como a distribuição é simétrica e o teste é bilateral, dividimos essa porcentagem em partes iguais nas duas extremidades. Nosso objetivo é achar T α / 2 .

Para isso, olhamos na tabela na distribuição de Student. O primeiro passo para isso é calcular o número de graus de liberdade ν . Substituindo na expressão que escrevi acima:

ν = 10 2 13 + 8 2 15 2 10 2 13 2 13 - 1 + 8 2 15 2 15 - 1 = 22,951

Vamos arredondar para ν = 23 pois a tabela só apresenta valores inteiros. Queremos que

P T > T α / 2 = α 2 = 0,05

Olhando na tabela:

Portanto,

T α / 2 = 1,714

Passo 3

Como o teste é bilateral, nós vamos aceitar H 0 se...

- T α / 2 < T o b s < T α / 2

Para calcular o T o b s fazemos μ A = μ A na expressão para T (já que essa é a hipótese que queremos testar). Fazendo isso,

T o b s = X - A - X - B - μ A - μ B S A 2 n A + S B 2 n B = 97 - 94 10 2 13 + 8 2 15 = 0,8675

É fácil ver que a condição - T α / 2 < T o b s < T α / 2 é satisfeita, de modo que a hipótese H 0 deve ser aceita. Isso significa que as médias são compatíveis entre si!

- 1,714 < 0,8675 < 1,714

Resposta

a) As médias são compatíveis entre si.

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