Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Um grupo de indústrias de alimentos pediu a 4   m i l pessoas que estimassem o número de calorias em cada um de 10 tipos comuns de alimentos. Na tabela a seguir estão as estimativas médias das calorias atribuídas pelo grupo ( Y i ) , o valor correto de calorias ( X i ) e o erro relativo Z i :

Dados: ∑ i = 1 10 Y i = 2317 ; ∑ i = 1 10 X i = 1328 ; Desvios padrão: σ x = 85 ; σ y = 134 ; σ z = 0,5 . Considere as seguintes assertivas:

I - Existem valores de Z que podem ser considerados outliers (segundo o critério: valores superiores a Q 3 + 1.5 ( Q 3 - Q 1 ) ou inferiores a Q 1 - 1.5 ( Q 3 - Q 1 ) ).

I I - Não existem valores de Z que podem ser considerados outliers.

I I I - Os limites dos intervalos de confiança da média das calorias supostas com 99 % de confiança são [ 148.53 ;   314.88 ]

I V - Os limites dos intervalos de confiança da média do erro relativo a 95 % de confiança são [ 0.433 ;   1.087 ] após a exclusão dos outliers.

V - A dispersão dos erros é maior para valores menores que a mediana.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi dado uma tabela que contém valores de calorias supostas Y i e calorias corretas X i e também foram feitas algumas afirmações a respeito dessa tabela.

O que temos que fazer é julgar essas afirmativas e descobrir quais estão corretas e quais estão erradas.

Foram dados alguns dados como: ∑ i = 1 10 Y i = 2317 ; ∑ i = 1 10 X i = 1328 ; Desvios padrão: σ x = 85 ; σ y = 134 ; σ z = 0,5 .

Vamos julgar um termo de cada vez para no fim descobrir qual afirmativa está correta e selecionar a resposta.

A afirmação I diz que: “Existem valores de Z que podem ser considerados outliers (segundo o critério: valores superiores a Q 3 + 1.5 ( Q 3 - Q 1 ) ou inferiores a Q 1 - 1.5 ( Q 3 - Q 1 ) ).”

Este método de análise consiste em organizar o espectro amostral em ordem crescente e dividi-lo em 4 partes iguais. Vamos verificar se essa informação está correta. Primeiro vamos organizar os dados do espectro amostral.

Com o espectro a mostrar organizado vamos verificar se os valores superiores e inferiores são extrapolados.

Vamos calcular o valor superior:

V S = Q 3 + 1.5 ( Q 3 - Q 1 )

V S = 1.42 + 1.5 1.42 - 0.34

V S = 3.04

Só pelo cálculo do valor superior vemos que o limite é extrapolado, já que o maior valor da nossa amostra é 5.17 e o limite superior é 3.04 , portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 2

A afirmação I I diz que: “Não existem valores de Z que podem ser considerados outliers.”

Essa afirmação é falsa já que acabamos de provar que existem valores que são considerados outliers.

A afirmação I I I diz que: “Os limites dos intervalos de confiança da média das calorias supostas com 99 % de confiança são [ 148.53 ;   314.88 ]

Pra verificar essa informação vamos utilizar a fórmula do intervalo de confiança, onde

I C = x - - Z · σ n ; x - + Z · σ n

Primeiro precisamos calcular a média das calorias supostas, pra isso foi dado ∑ i = 1 10 Y i = 2317 , logo a média pode ser obtida como

x - = 2317 10 → x - = 231.7

Também precisamos calcular o grau de Liberdade para verificar qual índice Z vamos utilizar na equação

Vemos p na tabela como 100 % - c o n f i a n ç a % , logo

p = 100 % - 99 %

p = 1 %

O grau de Liberdade é calculado como n ú m e r o   d e   a m o s t r a s - 1

G L = 10 - 1

G L = 9

Com essas informações vendo vemos que na linha com o grau de Liberdade 9 e a coluna de p = 1 % , o Z que vamos usar é 3.250 .

Substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança, temos

I C = 231.7 - 3.250 · 134 10 ; 231.7 + 3.250 · 134 10

I C = 93.98 ; 369.41

Vemos que o intervalo de confiança que encontramos é diferente do intervalo de confiança da dada na afirmação portanto a afirmação I I I está incorreta.

Passo 3

A afirmação I V diz que: “Os limites dos intervalos de confiança da média do erro relativo a 95 % de confiança são [ 0.433 ;   1.087 ] após a exclusão dos outliers.”

Essa formação é bem completa já que para prova-la vamos primeiro calcular os limites outliers, descobrir quais amostras estão fora desse limite, exclui-los do espectro amostral e calcular o intervalo de confiança.

Primeiro passo: Calcular os limites outliers.

Já organizamos nosso espectro amostral e vamos calcular o limite inferior do intervalo outlier.

V S = 3.04

O valor inferior é dado como

V I =   Q 1 - 1.5 Q 3 - Q 1

V I = 0.34 - 1.5 1.42 - 0.34

V I = - 1.48

Com isso vemos que temos apenas um valor fora do limite, excluindo-o do nosso espectro amostral, temos

Também precisamos calcular a média das amostras que sobraram no nosso espectro

x - = 0.23 + 0.30 + 0.34 + 0.40 + 0.79 + 0.82 + 0.92 + 1.42 + 1.62 9

x - = 0.76

Neste caso, temos que utilizar outra tabela de valores de Z

Onde Z = 1.96 .

Substituindo as informações que temos na equação do intervalo de confiança

I C = x - - Z · σ n ; x - + Z · σ n

I C = 0.76 - 1.96 · 0.5 9 ; 0.76 + 1.96 · 0.5 9

I C = 0.433 ; 1.087

Com isso vemos que a afirmativa I V é verdadeira

Passo 4

Por fim a afirmativa V diz que: “A dispersão dos erros é maior para valores menores que a mediana”

Para verificar essa informação vamos calcular o desvio padrão dos valores abaixo da mediana e o desvio padrão dos valores acima da mediana.

Para os valores abaixo da mediana:

σ M i n = ∑ Z i - x - 2 n

σ M i n = 0.3998

Para valores acima da mediana:

σ M a x = ∑ Z i - x - 2 n

σ M a x = 2.0324

Por fim vemos que o desvio padrão para os valores maiores que a mediana é maior que o desvio padrão para os valores menores que a mediana, portanto a afirmação V está incorreta.

Como apenas as informações I e I V estão corretas a alternativa correta é a letra B

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

B) As assertivas I e I V estão corretas

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