Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Conhecido

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Enunciado

Uma empresa fabricante de luvas, antes de lançar um novo modelo de luvas no mercado, deseja realizar um estudo sobre o tamanho das mãos dos indivíduos da população alvo (distância do dedo mindinho ao polegar da mão aberta) a partir de uma amostra aleatória de tamanho n . Estudos anteriores mostram que é razoável assumir que essa medida se comporta segundo uma distribuição normal.

a) Qual deve ser o valor de n de forma que o intervalo de confiança de 95% para o tamanho médio das mãos dos indivíduos da população, μ , tenha amplitude menor ou igual a 0,2 σ ? ( σ corresponde ao desvio padrão populacional).

b) Em uma amostra de 400 indivíduos, observou-se média de 17,5   c m e variância amostral de 25   c m 2 . Obtenha um intervalo de confiança de 95 % de confiança para o tamanho média das mãos dos indivíduos da população.

c) Um intervalo com uma confiança maior teria amplitude maior ou menor? Justifique.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para mais um problema sobre intervalo de confiança?

Temos uma variável que segue uma distribuição normal e queremos brincar com o intervalo de confiança para a média. Nesse primeiro passo vou fazer uma discussão geral que vai nos ajudar a resolver os dois primeiros itens!

A média X da distribuição deve seguir uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ m (desvio padrão da média). Queremos achar o intervalo X m i n ; X m a x em torno da média μ que corresponde a 95 % da probabilidade total:

Isso significa que a área da região pintada deve corresponder a 0,95 . Para resolver esse tipo de problema, nós fazemos uma mudança de variável:

Z = X - μ σ m

A variável Z segue uma distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1 e é com relação a essa variável que temos as famosas tabelas! Queremos achar os valores de Z m i n e Z m a x que correspondem a probabilidade de 0,95 :

P Z m i n < Z < Z m a x = 0,95

Mas sabemos que Z m i n = - Z m a x pois a distribuição é simétrica, de modo que

P - Z m a x < Z < Z m a x = 0,95

Além disso, podemos escrever:

P 0 < Z < Z m a x = 0,95 2 = 0,475

Ou ainda,

P - ∞ < Z < Z m a x = 0,5 + 0,475 = 0,975

Nosso objetivo é achar Z m a x e, para isso, recorremos à tabela de distribuição:

Achamos

Z m a x = 1,96 → Z m i n = - 1,96

Essa resultados será usado nos itens (a) e (b)!

Passo 2

Legal, vamos analisar o item (a)!

Como

Z = X - μ σ m → X = μ + Z σ m

Portanto,

X m i n = μ + Z m i n σ m = μ - Z m a x σ m

X m a x = μ + Z m a x σ m

Desta forma, o tamanho do intervalo é

X m a x - X m i n = 2 Z m a x σ m

Nós queremos que esse intervalo seja menor ou igual a 0,2 σ :

2 Z m a x σ m ≤ 0,2 σ → Z m a x σ m ≤ 0,1 σ

Aqui devemos ter um cuidado especial: σ m é o desvio padrão da média e σ o desvio amostral. Eles se relacionam por

σ m = σ n

Logo,

Z m a x σ n ≤ 0,1 σ → n ≥ Z m a x 0,1 = 10 Z m a x

Como Z m a x = 1,96 , temos que

n ≥ 19,6

Elevando ao quadrado,

n ≥ 384,16

Como não existe um número fracionado de pessoas e se houverem 384 pessoas a condição não é satisfeita, o número mínimo de pessoas que devemos ter na amostra é 385 .

Passo 3

No item (b) temos μ = 17,5 , n = 400 e σ = 25 = 5 . Primeiro calculamos o desvio padrão da média:

σ m = σ n = 5 400 = 5 20 = 0,25

Para achar o intervalo de confiança, precisamos de X m i n e X m a x :

X m i n = μ + Z m i n σ m = μ - Z m a x σ m

X m a x = μ + Z m a x σ m

Como Z m a x = 1,96 , é só substituir:

X m i n = 17,5 - 1,96 ⋅ 0,25 = 17,01

X m a x = 17,5 + 1,96 ⋅ 0,25 = 17,99

Portanto, o intervalo de confiança pedido é

I C = 17,01 ;       17,99

Passo 4

No item (c) ele pergunta o que deve acontecer com a amplitude do intervalo para que o nível de confiança seja maior.

Ora, se a confiança for maior devemos aumentar a área da região em torno da média:

Isso significa que o intervalo X m i n ; X m a x deve aumentar, de modo que a amplitude do intervalo de confiança também aumenta!

Resposta

a) 385 pessoas.

b) I C = 17,01 ;       17,99 .

c) Amplitude maior.

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