Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Conhecido

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Enunciado

Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma quantidade de líquido normalmente distribuído com desvio padrão 20   ml . Sabendo que numa amostra aleatória de 36 bebidas se obteve uma média de 250   ml .

  1. Construa um intervalo de confiança a 95 % para a verdadeira média.
  2. Qual deveria ser o tamanho de amostra para obter uma amplitude aproximadamente 11,5?

Passo 1

(a)

Vamos ver os dados do exercício.

A gente tem uma amostra com n = 36 e com média amostral x ¯ = 250 .

A gente sabe também o desvio padrão populacional σ = 20 .

O nosso intervalo de confiança tem que ser de 95% de confiança para a média populacional, com isso a gente pode calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 2

Como a gente conhece o valor de σ , nosso intervalo será:

I C = ( x ¯ - d , x ¯ + d )

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

Agora é fazer contas.

x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 - 1,96 × 20 36 = 243,47

x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 + 1,96 × 20 36 = 256,53

Então nosso intervalo é:

I C = ( 243 , 4 7   ; 256,53 )

Passo 3

(b)

Pensa comigo, o nosso intervalo de acordo com a fórmula é:

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

O que seria a amplitude? Amplitude seria o ponto final menos o ponto inicial do intervalo, concorda?

Se você fizer essa conta com o nosso intervalo, vai descobrir que.

Amplitude = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

Passo 4

Se o exercício diz que a amplitude é 11,5. Pra descobrir o valor de n é só substituir.

11,5 = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

11,5 = 2 × 1,96 × 20 n

n = 2 × 1,96 × 20 11,5 2

n = 46,47

Como n tem que ser inteiro:

n = 47

Resposta

a   I C = ( 243,4 7   ; 256,53 )

b   47

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