Exercícios Resolvidos de Introdução a testes de aderência

Considere os dados abaixo, que supostamente são uma amostra de tamanho n = 30 de uma distribuição normal, de média μ = 10 e variância σ 2 = 25 . Os dados já estão ordenados.

Ao nível de significância de 5 % , podemos afirmar que os dados se adequam a uma distribuição Normal?

Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Aqui precisaremos primeiro definir quem são as categorias, para assim encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias.

E essa parte pode parecer meio confusa, como assim definir categorias? Quem vão ser nossas categorias?

A verdade é que existem múltiplas respostas para essa pergunta. Uma forma que vai funcionar é a gente pensar nos quartis dos dados de uma distribuição.

Se dividirmos qualquer distribuição em 3 quartis principais, tipo o primeiro, o segundo, e o terceiro, esperamos que o número de dados entre cada um deles seja o mesmo né? Pois vamos pulando de 25 % em 25 % dos dados, sem alterar esse intervalo.

Então a ideia é a gente ver quantos elementos tem entre cada um desses quartis na distribuição da Normal N ( 10,25 ) citada, e depois verificar quantos dos dados observados cabem dentro de cada um desses quartis. Partiu?!

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Passo 2

Para isso, vamos calcular o valor dos quartis primeiro. Como fazer isso? Usando a tabela da Normal padrão!

Na tabela da Normal padrão, nós encontramos os quartis dessa forma:

P Z < Q 1 = 0,25

P Z < Q 2 = 0,5

P Z < Q 3 = 0,75

Já que a tabela nos da valores de probabilidades acumuladas até certo z , esses z vão ser justamente nossos quartis nesses casos. Procurando na tabela vemos que:

Q 1 = - 0,6745

Q 2 = 0

Q 3 = 0,6745

Agora, para descobrir os quartis REAIS, ou seja, os da distribuição N ( 10,25 ) , precisamos “despadronizar” os quartis da Normal padrão. Para isso, multiplicamos o valor deles pelo desvio padrão, e depois somamos a média (operações inversas da padronização):

Q 1 = 5 - 0,6745 + 10 = 6,6275

Q 2 = 5 0 + 10 = 10

Q 3 = 5 0,6745 + 10 = 13,3725

Passo 3

Agora vamos olhar para a tabela dada e ver quantos valores estão em cada um dos intervalos:

- ; 6,6275 6   v a l o r e s = O 1

6,6275 ; 10 9   v a l o r e s = O 2

10 ; 13,3725 9   v a l o r e s = O 3

13,3725 ; + 6   v a l o r e s = O 4

E os valores esperados para o número de elementos entre dos quartis principais de uma distribuição são iguais, ou seja, o valor que divide a distribuição em 4 partes iguais. Como n = 30 :

E i = 30 4 = 7,5   p a r a   t o d o   i = 1,2 , 3,4

Passo 4

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 6 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 9 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 9 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 6 - 7,5 ) 2 7,5

X 2 = 1,2

Passo 5

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 7,815

Passo 6

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

1,2 < 7,815

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.

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