Exercícios Resolvidos de Introdução a Vetores

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Enunciado

1 - Determine α e β de modo que:

s e n 6 x c o s 4 x = 1 / 2 s e n α x + s e n β x .

Dica: use que:

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão é bem diretinha. Foi dado uma função que vamos chamar de f x = s e n 6 x c o s 4 x e temos que transformar essa função em 1 / 2 s e n α x + s e n β x para encontrar os valores de α e β .

Ok, tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔

O enunciado nos deu uma dica, vamos dar uma olhada.

Com essa dica, vemos que podemos usar a seguinte relação

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Podemos ver a semelhança da dica dada pelo enunciado e a relação que precisamos fazer.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Temos a função de f x = s e n 6 x c o s 4 x e temos que encontrar os valores de α e β para que

s e n 6 x c o s 4 x = 1 / 2 s e n α x + s e n β x

Comparando com a dica dada no enunciado

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Podemos determinar a = 6 x e b = 4 x . Dessa forma a + b = α x e a - b = β x

Com isso, podemos montar um sistema de equações e calcular os valores de α e β .

a + b = α x a - b = β x

Substituindo os valores de a e b no nosso sistema, temos

6 x + 4 x = α x 6 x - 4 x = β x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com nosso sistema montado, podemos fazer as operações a + b   e a - b .

6 x + 4 x = α x 6 x - 4 x = β x → 10 x = α x 2 x = β x

Nesse momento, podemos determinar os valores de duas formas, por igualdade de polinômios ou pelo método convencional.

Pelo método de igualdade de polinômios, podemos associar cada índice de associado a uma variável dos dois lados da equação. Como no nosso caso temos apenas uma variável este método é menos visível.

10 x = α x ,   2 x = β x

Por igualdade de polinômios α tem que ser igual a 10 e β tem que ser igual a 2 .

Pelo método convencional, podemos dividir os dois lados da equação por x , resultando em

10 x x = α x x 2 x x = β x x

Assim cortando x dos numeradores e dos denominadores, temos

10 = α 2 = β

Por fim, para a igualdade inicial ser satisfeita, temos que ter

α = 10 β = 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

α = 10 β = 2

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