Exercícios Resolvidos de Introdução a Vetores

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Enunciado

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrito pelas funções posição x 1 = t 2 + t + 1 , x 2 = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 = t + 3 e y 2 = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos.

d) Determine a velocidade relativa v → 12 ( t ) no(s) instantes no(s) qual(is) as partículas colidem.

Passo 1

E aí pessoal, tudo belezinha?

Nessa questão temos duas partículas que estão se movimentando no plano x y . Analisando as informações sobre as funções posição que foram dadas, pudemos escrever o vetor posição de cada uma dessas partículas:

r → 1 t = t 2 + t + 1 i → + t + 3 j → r → 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 i → + 2 t + 2 j →

E, de posse disso, pudemos também escrever o vetor posição relativa das partículas como sendo:

r → 12 = t 2 - 3 t + 2 i → + t - 1 j →

Vimos também que quando as partículas se colidirem, o vetor posição relativa deverá ser o vetor nulo. E, isso ocorre quando t = 1   s .

Nesse item precisamos determinar a velocidade relativa v → 12 ( t ) no instante da colisão, ou seja, em t = 1   s .

A grande sacada pra matar esse exercício é lembrar que:

v → = d r → d t

Assim, podemos derivar o vetor posição relativa e depois substituir t = 1   s para encontrar a velocidade pedida.

Vem com a gente 😉

Passo 2

Bom, vamos então derivar o vetor posição relativa com relação ao tempo t .

Temos:

r → 12 = t 2 - 3 t + 2 i → + t - 1 j →

Derivando com relação a t , temos:

d r → 12 d t = d t 2 - 3 t + 2 d t ⋅ i → + d t - 1 d t ⋅ j →

Como:

d t 2 - 3 t + 2 d t = 2 t - 3

E:

d t - 1 d t = 1

Temos que:

v → 12 t = d r → 12 d t = 2 t - 3 i → + 1 j →

Logo, quando t = 1   s , temos:

v → 12 1 = 2 ⋅ 1 - 3 ⋅ i → + 1 j →

∴ v → 12 1 = - i → + j →

E é isso gente! Matamos mais uma questãozinha 😊

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!

Resposta

v → 12 1 = - i → + j →

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