Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Enunciado

Descreva o domínio de f em palavras.

a)  

f x , y , z = 25 - x 2 - y 2 - z 2

b)  

f x , y , z = e x y z

Passo 1

a)

Quando queremos o domínio de uma função, precisamos procurar os valores onde ela está definida.

Pra uma função constituída de uma raiz quadrada ser definida, o termo dentro da raiz par não pode ser negativo, ou seja, sendo:

f x , y , z = 25 - x 2 - y 2 - z 2

25 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

Agora, vamos resolver essa inequação. Passando - x 2 - y 2 - z 2 para outro lado ficamos com

25 ≥ x 2 + y 2 + z 2

Que é a mesma coisa que:

⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25

Essa equação lembra muito a equação da esfera que é desse jeitão aqui:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Veja que quem está fazendo o papel do R 2 é o 25 . Assim, temos que:

5 2 = 25 → R = 5

Então precisaremos que:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 2

Que é uma esfera de raio 5 , e como temos o sinal de , significa que estamos considerando também o seu interior.

Então se a gente pensar juntinhos podemos concluir que, o domínio de f é de uma esfera de raio 5 centrada na origem. Além do interior da esfera também temos a casca da esfera porque temos o sinal de ≤  

Passo 2

b)

f x , y , z = e x y z

Nesse caso é mais tranquilinho porque a função exponencial admite qualquer termo sem dar problema. Então o domínio dessa função é simplesmente todo o R 3 . 😊

Resposta

a)

O interior e a casca de uma esfera de raio 5 centrada na origem.

b)

Todo o R 3 .