Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Enunciado

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

Passo 1

A gente precisa achar o domínio e esboça-lo, vamos por partes então! Começando por colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0 (não pode ser um número negativo);

2-O denominador da fração não pode ser 0 .

Passo 2

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 , então, na nossa função

f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

Vamos separar em partes! A primeira é essa aqui:

y - x 2 3

Como é uma raiz ímpar, não temos restrição nenhuma! A problema é só quando é par, ok?

Agora para

x - y 4

temos uma raiz par, então precisamos que

x - y ≥ 0

Passando o - y para o outro lado, ficamos com

x ≥ y

Que podemos escrever assim:

y ≤ x

Vamos guardar isso, que já já vamos precisar!

Passo 3

Agora para nossa última parte da função temos que o denominador da fração x y x + y não pode ser 0

x + y ≠ 0

Logo,

x + y ≠ 0   ( p o r q u e   e s t á   n o   d e n o m i n a d o r )

Maaaas não acabamos por aí, percebe aqui comigo o denominador também é uma raiz par, então além de ser ≠ 0 , ele tambem tem que ser maior que zero.

Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

x + y ≥ 0   ( p o r   c a u s a   d a   r a í z )

Juntando as duas condições temos que

x + y > 0

Porque não pode negativo, nem igual a zero. Por isso que o sinal de se transformou em apenas > .

Assim:

x + y > 0

y > - x

Show, agora vamos desenhar isso.

Passo 4

Mas agora como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Assim:

x + y > 0

y > - x

Se transforma em:

x + y = 0

y = - x

E o gráfico é esse aqui:

Agora vamos colocar o sinal correto que é:

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e não de “maior ou igual”). Encontramos isso:

Show, essa parte foi.

Mas lembra do que encontramos lá no passo 2, quando fizemos x - y ≥ 0

Achamos:

y ≤ x

Vamos trocar o sinal também, colocando uma igualdade pra ajudar a gente a começar a desenhar essa parte. Agora teremos a reta y = x . Que nos dá esse gráfico aqui:

Voltando para o sinal certo, temos:

y ≤ x

E como o sinal é de menor ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Prontinho, nosso domínio está representado pela parte mais escura do gráfico.

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção de y ≤ x e x > - y .

E seu esboço é: